а).
Приведем пример:
2 + 7 + 72 = 81.
ответ: да.
б).
Заметим, что при такой сумме будут использованы только двузначные и однозначные числа (так как наименьшее возможное в задаче трехзначное число, 222, уже больше 197). То есть, имеем всего лишь шесть возможных чисел: 2, 7, 22, 27, 72, 77.
Предположим, что 197 можно представить в виде суммы нескольких различных натуральных чисел, состоящих только из 2 и 7. Так как 197 - число нечетное, то и в искомой сумме будет нечетное количество нечетных чисел - или же нечетное количество чисел, заканчивающихся на 7 (то есть, 1 или 3 числа).
Итак, рассмотрим два случая. Пусть в сумме есть только одно нечетное число. Тогда максимальное значение такой суммы равняется (2 + 22 + 72) + 77 = 173, что, естественно, меньше 197. Такой расклад событий нам не подходит.
Второй случай подразумевает, что были использованы все три нечетных числа. Если мы к тому же взяли в сумму и все четные числа, то она стала равна (7 + 27 + 77) + (2 + 22 + 72) = 207. Это больше, чем нам нужно, ровно на 10. Но проблема в том, что мы должны вычесть из суммы 10, используя только 2, 22, 72. Но 2 < 10 < 22, и уменьшить сумму таким тоже не получится. Значит, и этот вариант не имеет места быть.
И искомое предположение было неверным.
ответ: нет.
в).
В полном условии задачи пункта в указано число 2099 (так как число 209 получить искомым нельзя).
Докажем, что меньше, чем за семь слагаемых, получить 2099 невозможно.
Здесь, опять же, в силу нечетности числа 2099, в сумме будут присутствовать нечетное количество чисел, заканчивающихся на 7.
Если такое число одно, то сумма последних цифр (чтобы на конце было 9 и всего слагаемых было не более 7) может быть такова:
7 + 2 ⇒ __9 (2 числа)
7 + 2 ⋅ 6 ⇒ __9 (7 чисел)
Если у нас три семерки, то случай (в пределах семи слагаемых) только один:
7 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 ⇒ __9 (7 чисел)
Тоже самое касается пяти и семи семерок:
7 ⋅ 5 + 2 ⋅ 2 ⇒ __9 (7 чисел)
7 ⋅ 7 ⇒ __9 (7 чисел)
Если чисел, заканчивающихся на 7, больше чем 7, то и всего слагаемых больше семи, что нас пока не устраивает.
Таким образом, единственный случай с меньше, чем с семью слагаемыми, - это 2 + 7.
Но если у нас есть всего лишь два слагаемых, то максимальная сумма равна 772 + 777 = 1549 < 2099 (четырехзначные числа не используются, так как 2222 > 2099). Получаем, что меньше семи слагаемых использовать невозможно (есть только один кандидат из двух слагаемых, правда, нам не подходящий).
Докажем, что семь слагаемых будет достаточно - приведем пример:
2 + 22 + 222 + 722 + 77 + 277 + 777 = 2099
ответ: 7 чисел.
а).
Приведем пример:
2 + 7 + 72 = 81.
ответ: да.
б).
Заметим, что при такой сумме будут использованы только двузначные и однозначные числа (так как наименьшее возможное в задаче трехзначное число, 222, уже больше 197). То есть, имеем всего лишь шесть возможных чисел: 2, 7, 22, 27, 72, 77.
Предположим, что 197 можно представить в виде суммы нескольких различных натуральных чисел, состоящих только из 2 и 7. Так как 197 - число нечетное, то и в искомой сумме будет нечетное количество нечетных чисел - или же нечетное количество чисел, заканчивающихся на 7 (то есть, 1 или 3 числа).
Итак, рассмотрим два случая. Пусть в сумме есть только одно нечетное число. Тогда максимальное значение такой суммы равняется (2 + 22 + 72) + 77 = 173, что, естественно, меньше 197. Такой расклад событий нам не подходит.
Второй случай подразумевает, что были использованы все три нечетных числа. Если мы к тому же взяли в сумму и все четные числа, то она стала равна (7 + 27 + 77) + (2 + 22 + 72) = 207. Это больше, чем нам нужно, ровно на 10. Но проблема в том, что мы должны вычесть из суммы 10, используя только 2, 22, 72. Но 2 < 10 < 22, и уменьшить сумму таким тоже не получится. Значит, и этот вариант не имеет места быть.
И искомое предположение было неверным.
ответ: нет.
в).
В полном условии задачи пункта в указано число 2099 (так как число 209 получить искомым нельзя).
Докажем, что меньше, чем за семь слагаемых, получить 2099 невозможно.
Здесь, опять же, в силу нечетности числа 2099, в сумме будут присутствовать нечетное количество чисел, заканчивающихся на 7.
Если такое число одно, то сумма последних цифр (чтобы на конце было 9 и всего слагаемых было не более 7) может быть такова:
7 + 2 ⇒ __9 (2 числа)
7 + 2 ⋅ 6 ⇒ __9 (7 чисел)
Если у нас три семерки, то случай (в пределах семи слагаемых) только один:
7 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 ⇒ __9 (7 чисел)
Тоже самое касается пяти и семи семерок:
7 ⋅ 5 + 2 ⋅ 2 ⇒ __9 (7 чисел)
7 ⋅ 7 ⇒ __9 (7 чисел)
Если чисел, заканчивающихся на 7, больше чем 7, то и всего слагаемых больше семи, что нас пока не устраивает.
Таким образом, единственный случай с меньше, чем с семью слагаемыми, - это 2 + 7.
Но если у нас есть всего лишь два слагаемых, то максимальная сумма равна 772 + 777 = 1549 < 2099 (четырехзначные числа не используются, так как 2222 > 2099). Получаем, что меньше семи слагаемых использовать невозможно (есть только один кандидат из двух слагаемых, правда, нам не подходящий).
Докажем, что семь слагаемых будет достаточно - приведем пример:
2 + 22 + 222 + 722 + 77 + 277 + 777 = 2099
ответ: 7 чисел.
Пусть скорость велосипедиста х км в час, тогда скорость мотоциклиста
2,5х км в час.
До места когда мотоциклист догнал велосипедиста
- велосипедист ехал t часов со скоростью х км в час и проехал
хt км
- мотоциклист ехал (t-1,5) час со скоростью 2,5х и проехал (2,5х)*(t-1,5)
Эти расстояния равны.
xt=2,5x*(t-1,5)
t=2,5(t-1,5)
t=2,5t-3,75
1,5t=3,75
t=2,5
Значит, велоcипедист до места встречи проехал 2,5х км
Ему осталось проехать (50-2,5х) км
(50-2,5х)/х час время на этом участке велосипедиста
(50-2,5х)/2,5х час время на этом участке мотоциклиста
По условию мотоциклист прибыл на час раньше.
Уравнение:
(50-2,5х)/х - (50-2,5х)/2,5х = 1
(50-2,5х)*(2,5-1)=2,5х
75-3,75х=2,5х
75=6,25х
х=12
12 км в час - скорость велосипедиста
2,5х=2,5*12=30 км в час - скорость мотоциклиста
О т в е т. 30 км в час