Question

Log2_2(25-x^2)-7log2(25-x^2)+12 больше или равно нулю

Answer 1

$kog_{2} ^{2} (25- x^{2} )-7* log_{2}(25- x^{2} ) +12 \geq 0$

логарифмическое квадратное неравенство, замена переменной:
$log_{2}(25- x^{2} ) =t$
t²-7t+12≥0 метод интервалов:
1.t²-7t+12=0, t₁=3, t₂=4

2. ++++[3]-----[4]+++++>t

3. t≤3, t≥4

обратная замена:
 
1. t≤3.   log₂(25-x²)≤3 , 3=log₂2³=log₂8
log₂(25-x²) ≤ log₂8
ОДЗ: 25-x²>0. (5-x)*(5+x)>0
-5<x<5
основание логарифма а=2, 2>1 знак неравенства не меняем

25-x²≤8, 17-x²≤0.  (√17-x)*(√17+x)≤0

x≤-√17, x≥√17
учитывая ОДЗ, получим:

x∈(-5;-√17]∪[√17;5)

2. t≥4,  log₂(25-x²)≥4.  4=log₂2⁴=log₂16
log₂(25-x²)≥log₂16,  25-x²≥16.  9-x²≥0.  (3-x)*(3+x)≥0
-3≤x≤3. учитывая ОДЗ, получим: x∈[-3;3]

ответ: x∈(-5;-√17)∪[√17;5)∪[-3;3]