Question

Объем тела, образ. вращением оси абсцисс, фигуры ограниченной линиями: 1) у= 1, у= х+2, х= 0, х= 2 2) у= е^х, у= 1, х= 1 3) у= корень из х, у= х

Answer 1

$1)\; \; y=1\; ,\; y=x+2\; ,\; \; x=0\; ,\; \; x=2\\\\V=\pi \cdot \int \limits _{a}^{b} f^2(x)\, dx\\\\V=V_1-V_2=\pi \int \limits _0^2(x+2)^2dx-\pi \int \limits _0^21^2\, dx=\\\\=\pi \int\limits^2_0 \Big ((x+2)^2-1\Big )\, dx =\pi \Big (\frac{(x+2)^3}{3}-x\Big )\Big |_0^2=\\\\=\pi \Big (\frac{4^3}{3}-2-\frac{2^3}{3}\Big )= \frac{50}{3} \cdot \pi$

$2)\; \; y=e^{x}\; ,\; =1\; ,\; x=1\\\\v=V_1-V_2= \pi \cdot \int\limits^1_0 \Big ((e^{x})^2-1^2\Big ) \, dx =\pi \cdot \int\limits^1_0\Big (e^{2x}-1)dx=\\\\=\pi \cdot \Big (\frac{1}{2}\cdot e^{2x}-x\Big )\Big |_0^1=\pi \cdot \Big (\frac{1}{2}\cdot e^2-1-\frac{1}{2}\cdot e\Big )=\pi \cdot \frac{e^2-e-2}{2}$

$3)\; \; y=\sqrt{x}\; ,\; y=x\\\\\sqrt{x}=x\; \; \to \; \; x-\sqrt{x}=0\; ,\; \sqrt{x}\cdot (\sqrt{x}-1)=0\; ,\; x_1=0\; ,\; x_2=1\\\\V=V_1-V_2=\pi \cdot \int\limits^1_0 \Big ((\sqrt{x})^2-x^2\Big ) dx =\pi \cdot \int\limits^1_0\Big (x-x^2\Big )dx=\\\\=\pi \cdot \Big (\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\Big )\Big |_0^1=\pi \cdot \Big (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Big )=\pi \cdot \frac{1}{6}=\frac{\pi}{6}$