Если в уравнении рассматриваются частные случаи sinx=0 и cosx=0, то пользуются более простыми формулами, и пользуются периодом П, так как нули синуса и косинуса повторяются через период, равный П, хотя в общем случае наименьший положительный период для этих функций равен 2П.
sinx=0, x=πn
cosx=0, x=π/2+πn
В общем случае sinx=a, x=(-1)^n*arcsina+πn и в случае sinx=0 можно было бы записать
х=(-1)^n*arcsin0+πn=(-1)^n*0+πn=πn.
Если решаем ур-ие sinx=1, то x=π/2+2πn - частный случай, а в общем случае писали бы х=(-1)^n*arcsin1+πn=(-1)^n*π/2+πn - ,более сложный вид, но правольная запись.
sinx=-1 x=-π/2+2πn - частный случай
Если cosx=a,то х=±arccosa+2πn.Можно для ур-ия cosx=0 записать решение через общую формулу х=±arccos0+2πn=±π/2+2πn (это более сложная запись, но правильная)
cosx=1, x=2πn
cosx=-1, x=π+2πn
Для уравнений tgx=a, x=arctga+πn
ctgx=a, x=arcctga+πn
Итак, если использовать общие формулы, то период только для косинуса берём 2πn. а для остальных функций используем πn.
1
Пример 1. 2sin(3x - p/4) -1 = 0.
Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p/4).
sin(3x - p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим
3х - p/4 = (-1)n arcsin 1/2 + np, nÎZ.
Зх - p/4 = (-1)n p/6 + np, nÎZ; 3x = (-1)n p/6 + p/4 + np, nÎZ;
x = (-1)n p/18 + p/12 + np/3, nÎZ
Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nÎZ.
Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 =
= p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nÎz.
ответ: х1 = 5p/6 + 2pn/3,nÎZ, x2 = 13p/36 + 2pn/3, nÎZ,
или в градусах: х, = 25° + 120 · n, nÎZ; x, = 65° + 120°· n, nÎZ.
Пример 2. sinx + Öз cosx = 1.
Решение. Подставим вместо Öз значение ctg p/6, тогда уравнение примет вид
sinx + ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1;
sinx sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos(x - p/6) = 1/2.
По формуле для уравнения cosx = а находим
х - p/6 = ± arccos 1/2 + 2pn, nÎZ; x = ± p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ;
x1 = p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x1 = p/2 + 2pn, nÎZ;
x2 = - p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ;
ответ: x1 = p/2 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ.
