Question

Решить пример

(y5-2y3+y2+y-1): (y2-1)

upd: цифра после буквы-степень

Answer 1

(y⁵ - 2y³ + y² + y - 1) : (y² - 1) = y³ - y + 1

1) y⁵ - 2y³ + y² + y - 1 = (y - 1)(y⁴ + y³ - y² + 1) = (y - 1)(y³(y + 1) - (y - 1)(y + 1)) = (y - 1)(y + 1)(y³ - y + 1)

2) y² - 1 = (y - 1)(y + 1)

3)  (y - 1)(y + 1)(y³ - y + 1) : (y - 1)(y + 1) =

$= (y - 1)(y + 1)(y^3- y + 1) * \frac{1}{(y - 1)(y + 1)}=\frac{(y - 1)(y + 1)(y^3- y + 1)}{(y - 1)(y + 1)} =\\\\=y^3-y+1$

Answer 2

Ну насчет столбиком шутки шутками, а ведь можно делить многочлен на многочлен уголком, только в LaTeX это особо не распишешь. А вот разложить на множители вполне можно.

Сначала займемся числителем:

$y^5-2y^3+y^2+y-1=y^5-y^4+y^4-y^3-y^3+y^2+y-1=\\ =y^4(y-1)+y^3(y-1)-y^2(y-1)+1\cdot(y-1)=\\ =(y-1)(y^4+y^3-y^2+1)=(y-1)(y^4+y^3-y^2+y-y+1)=\\ (y-1)(y^3(y+1)-y(y+1)+1\cdot(y+1))=(y-1)(y+1)(y^3-y+1)$

Здесь часто использовался метод искусственного добавления и вычитания слагаемых для вынесения за скобки общих множителей (в виде скобок). Вот каких - дело опыта, но имея опыт с нахождением корней многочленов высоких степеней, я уже знал, конечно, что в разложении будут присутствовать скобки $y+1$ и $y-1$ и последнюю скобку не стал раскладывать, тоже кое-что зная. Так что больше опыта нужно и внимательности. Других рекомендаций нет.

Получили $\boxed{y^5-2y^3+y^2+y-1=(y-1)(y+1)(y^3-y+1)}$

Теперь знаменатель: по известной формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

получаем $\boxed{y^2-1=(y-1)(y+1)}$

Осталось все это написать вместе и сократить

$$\frac{(y-1)(y+1)(y^3-y+1)}{(y-1)(y+1)} =y^3-y+1; y\neq \pm1$

Сокращать можно только учитывая ограничения

ответ: $\boxed{y^3-y+1}$