Question

Объясните подробно, как решать данный пример: каждый шаг объясните: это дифференциальное уравнение: y''+3y'=9x

Answer 1

$y''+3y'=9x$
КЛАССИФИКАЦИЯ: Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка со специальной право частью
Найти нужно: yо.н. = уо.о.  + уч.н.

Найдем уо.о. (общее однородное)
$y''+3y'=0$
Применим метод Эйлера
Пусть $y=e^{kx}$, тогда подставив в однородное уравнение, получаем характеристическое уравнение
$k^2+3k=0$
Корни которого $k_1=-3;\,\,\,\, k_2=0$
Тогда общее решение однородного уравнения будет
$y_{o.o.}=C_1y_1+C_2y_2=C1e^{-3x}+C_2$

Найдем теперь уч.н.(частное неоднородное)
$f(x)=9x\cdot e^{0x}$ отсюда $\alpha=0;\,\,\,\,\, P_n(x)=9x;\,\,\, n=1$
где $P_n(x)$ - многочлен степени х

Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения  и, принимая во внимания что n=1 , частное решение будем искать в виде:
уч.н. = $x e^{0x}(A+Bx)$

Чтобы определить коэффициенты А и В, воспользуемся методом неопределённых коэффициентов:
$y'=A+2Bx\\ \\ y''=(A+2Bx)'=2B$

Подставим в исходное уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых х

$2B+3(A+2Bx)=9x\\ 2B+3A+6Bx=9x\\ \\ \displaystyle\left \{ {{2B+3A=0} \atop {6B=9}} \right. \Rightarrow \left \{ {{A=-1} \atop {B= \frac{3}{2} }} \right.$

Тогда частное решение неоднородного будет иметь вид

уч.н. $= \dfrac{3x^2}{2}-x$

Запишем общее решение исходного уравнения

$Y_{O.H}= \dfrac{3x^2}{2}-x +C_1e^{-3x}+C_2$ - ответ