Question

Arccos(cosx)=x-3π/2
найти значение x

Answer 1

Область значений функции $arccos(t)$ это $[0;\pi]$

Значит, $$0\leq x-\frac{3\pi}{2}\leq \pi; \frac{3\pi}{2}\leq x\leq \frac{5\pi}{2}$

Ограничение на x есть.

Теперь чтобы решить это добро, возьмем косинус от левой и от правой части.

$cos(arccos(cos(x)))=cos(x-\frac{3\pi}{2})$

$cos(arccos(t))=t, t\in[-1;1]$

Так что применим это сюда:

$$cosx=cos(x-\frac{3\pi}{2}); cosx=-sinx; sinx+cosx=0;$

Проверим $cosx=0; sinx\neq 0 \Rightarrow cosx+sinx\neq 0$, значит, мы можем смело поделить на $cosx\neq 0;$

Получим $$tgx+1=0; tgx=-1; x=-\frac{\pi}{4}+\pi k, k\in \mathbb{Z}$

Теперь надо вернуться к ограничению:

$$\frac{3\pi}{2}\leq -\frac{\pi}{4}+\pi k \leq \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{4}\leq \pi k \leq \frac{11\pi}{4}; \frac{7}{4}\leq k \leq \frac{11}{4}; k \in \mathbb{Z}$

Из целых чисел на этом отрезке есть только k=2

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{7\pi}{4}$

ответ: $\boxed{\frac{7\pi}{4} }$