1)
х - первое число
1,5х - второе число
По условию среднее арифметическое этих чисел
0,5(х + 1,5х) = 34
0,5 · 2,5х = 34
1,25х = 34
х = 27,2
1,5х = 1,5 · 27,2 = 40,8
Эти числа 27,2 и 40,8
2)
х - первое число
х + 2,6 - второе число
По условию среднее арифметическое этих чисел
0,5(х + х + 2,6) = 8,4
0,5 · 2х + 0,5 · 2,6 = 8,4
х + 1,3 = 8,4
х = 8,4 -1,3
х = 7,1
х + 2,6 = 7,1 +2,6 = 9,7
Эти числа 7,1 и 9,7
3)
х - третье число
2,5х - первое число
0,5х -второе число
По условию среднее арифметическое этих чисел
(х + 2,5х + 0,5х) : 3 = 25
4х = 75
х = 18,75
2,5х = 2,5 · 18,75 = 46,875
0,5х = 0,5 · 18,75 = 9,375
1-е число 46,875;
2-е число 9,375;
3-е число 18,75
Найти а) частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям ;
б) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
a) y " + 8y ' + 7y = 0 ; y(0) = 2 ; y '(0) = 1 .
Составляем и решим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
k² + 8k +7 =0 D₁ = (8/2)² - 7 = 4² -7 = 9 = 3² ; √D₁ =3
* * * очевидно по т Виета * * * k = - 1 корень
k₁,₂ = - (8/2) ± 3
k₁ = -4 - 3 = - 7 ;
k₂ = - 4 + 3 = -1 .
Получены два различных действительных корня
Общее решение : y = C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) , где C₁ и C₂ произвольные константы (постоянные) .
* * * Придавая константам различные значения, можно получить бесконечно много частных решений * * *
Определим частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям : y(0) = 2 , y ' (0) = 1 .
y(0) = C₁e^(-7*0) +C₂e^(-0 ) = C₁ + C₂ = 2;
y ' = ( C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) ) ' = -7*C₁e^(-7x) - C₂e^(-x)
y ' (0) = -7*C₁e^(-7*0) - C₂e^(-0) = - 7C₁ - C₂ = 1 .
- - - Составим и решим систему из двух найденных уравнений:
{ C₁ + C₂ = 2 ; {-6C₁ = 2+1 ; {C₁ = -0,5 ; { C₁ = - 0,5 ;
{ - 7C₁ - C₂ = 1 . { C₂ = - 7C₁ - 1. { C₂ =-7*(-0,5) -1 . { C₂ = 2,5 .
* * *методом сложения * * *
Подставим найденные значения C₁ и C₂ в общее решение
ответ : - 0,5 e^(-7x) +2,5 e^(-x) частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям.
- - - - - - -
б) y ' ' - 6y ' + 8y = 3e^ 4x
k² - 6k + 8 =0 ( характеристическое уравнение )
k₁ = 2 ;
k₂ = 4 .
y₀= C₁e^(2x) +C₂e^(4x) общее решение без правой части
Далее найдем частное решение данного уравнения по правой части у₁ =Axe^(4x) , у₁' = Ae^(4x) +4Axe^(4x) , у₁' ' = 4Ae^(4x) +4A(e^(4x) +4xe^(4x) )=8Ae^(4x) +16Axe^(4x)
8Ae^(4x) +16Axe^(4x) - 6Ae^(4x) -24Axe^(4x) +8Axe^(4x) =3e^4x
2Ae^(4x) =3e^(4x ) ⇒ A =1,5 ; y₁=Axe^(4x) = 1,5xe^(4x)
y = y₀ + y₁ = C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x)
ответ : C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x) .
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ay ' ' + by' + cy =0 ищем решение y= е^(kx) || ^ → степень ||
y ' = е^(kx) *(kx) ' =k*е^(kx) ; y '' =(y ' )'= (k*е^(kx) ) '=k*(е^(kx) ) '= k²*е^(kx) .
a*k²*е^(kx) + b*k*e^(kx)+c*e^(kx) =0 ;
е^(kx) * (ak² + bk +c) =0 ; е^(kx) ≠ 0 ⇒
a*k² + b*k + c = 0 ( характеристическое уравнение )
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
