Question

(cos2x-2cos4x)^2=9+cos^2(5x) решите подробно, ответ выберу как лучший

Answer 1

(2cos4x -cos2x)²  =9 + cos²5x  ;
очевидно:  (2cos4x -cos2x)²  ≤  9   и  9 + cos²5x  ≥  9 .
  Если уравнение имеет решение,то одновременно  должны выполнятся 
 (2cos4x -cos2x)²  =  9 и  9 + cos²5x =  9 ⇔
{ (2cos4x -cos2x)²  = 9 ; cos5x =0.
Нужно найти решения  этой системы.
(2cos4x -cos2x)² = 9  ⇔ 2cos4x -cos2x = ± 3⇔ 2(2cos²2x -1) - cos2x = ± 3⇔  2(2cos²2x  - 1) - cos2x = ± 3 ⇔  4cos²2x  -  cos2x - 2 = ± 3 .
a)
 4cos²2x  -  cos2x -2 =  - 3 ;
 4cos²2x  - cos2x+1 =0  квадратное уравнение относительно cos2x =t
 D =1² -4*4*1 = -15 < 0 ⇒ не имеет решения 
b)
2cos4x - cos2x =  3 ; * * * cos4x =1 и cos2x = -1⇔2cos²2x -1 =1и cos2x = -1* *
 4cos²2x  -  cos2x -2 = 3 ;
 4cos²2x  - cos2x - 5 =0 ;  D =1²  + 4*4*(-5) =81 =9²
cos2x =(1 +9)/8 =5/4 >0  ⇒ x  ∈ ∅ ;
cos2x =(1 -9)/8 = - 1 ⇒ 2x = π +2πm , m∈Z ⇔  x = π /2 +πm , m∈Z.
одновременно с этим (необходимо и достаточно)
 cos5x =0⇒ 5x =π/2 +π*n , n ∈Z ⇔x = π/10+(π/5)*n.
---
{ x = π /2 +πm , x = π/10+(π/5)*n , m , n ∈ Z.
---
 π /2 +πm = π/10+(π/5)*n ;
10 +20m = 2 +4n  ;
n =4 +5m .
* * * серия решений x = π/10+(π/5)*n   содержит решения x=π /2 +πm.* * *
 
ответ : x = π/10+(π/5)*n , n∈Z.