Question

Провести полное исследование функции и построить график: y=12x/(9+x^2)

Answer 1

Исследовать функцию f (x) = 12x/(9+x²) и построить ее график.

1. Область определения функции - вся числовая ось, так как знаменатель не может быть равен нулю.

2. Функция f (x) = 12x/(9+x²) непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

3. Четность, нечетность, периодичность:

 f(–x) = 12*(–x)/(9+(–x)²) = –(12x(9+x²)) = –f(x).

Функция является нечетной. График функции симметричен относительно начала координат.

Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

Ox: y=0, 12x/(9+x²) = 0 ⇒ x=0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Ox.

 Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

Находим производную заданной функции.
f′(x)=(12⋅x/(9+x²))′==((12⋅x)′⋅(9+x²)−12⋅x⋅(9+x²)′)/(9+x²)²==(12⋅(9+x²)−12⋅x⋅(x²)′)(9+x²)²==((12⋅(9+x²)−24⋅x⋅x)/(9+x²)²ответ:f′(x)=(12⋅(9+x2)−24⋅x²)(9+x²)² = (12(9-x²))/(9+x²)².
Приравниваем её нулю (достаточно числитель):
12(9-х²) = 0, 9 = х², х = +-3.

 x = 3, x = -3  критические точки.

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимум функции в точке:
x_{1} = -3
Максимум функции в точке: x_{2} = 3.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. 
Убывает на промежутках (-oo, -3] U [3, oo).
Возрастает на промежутке  [-3, 3].

6. Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

$\frac{d^2}{dx^2}f(x) = 0.$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: 
Вторая производная $\frac{d^2}{dx^2}( \frac{12x}{9+x^2})= \frac{24x(x^2-27)}{(9+x^2)^3}.$
Приравниваем нулю и решаем это уравнение.

Для дроби достаточно нулю приравнять числитель:

24x(x²-27) = 0.

Решаем это уравнение: х = 0, х² - 27 = 0
Корни этого уравнения: х₁ = 0. х₂ = √27 =3√3,  х₃ = -√27 = -3√3.

7. Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-3*sqrt(3), 0] U [3*sqrt(3), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -3*sqrt(3)] U [0, 3*sqrt(3)]

8. Искомый график функции дан в приложении.