Question

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, периметр которого 12 см, если радиус окружности, вписанной в него 1 см

Answer 1

Пусть катеты данного треугольника имеют длины a и b, а гипотенуза c. Тогда из того, что площадь этого треугольника равна половине произведения катетов, а также произведению половины периметра на радиус вписанной окружности, а сам периметр равен 12:
$\left \{ {{a+b+c=12} \atop {ab=12}} \right. \\ \left \{ {{a+b+\sqrt{a^2+b^2}=12} \atop {b={12\over a}}} \right.\\a+{12\over a}+\sqrt{a^2+{144\over a^2}}=12\\a^2+12+\sqrt{a^4+144}=12a\\a^4+144=(12a-a^2-12)^2=a^4-24a^3+24a^2+144a^2-288a+144\\24a^3-168a^2+288a=0\\a\neq0\Rightarrow24a^2-168a+288=0\\a^2-7a+12=0\\D=49-48=1\\a_1={7+1\over2}=4\Rightarrow b_1={12\over4}=3\\\\a_2={7-1\over2}=3\Rightarrow b_2={12\over3}=4\\\\c=\sqrt{3^2+4^2}=5$

Гипотенуза прямоугольного треугольника есть диаметр описанной около этого треугольника окружности (является хордой, на которую опирается вписанный угол величиной 90°)

Значит радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине длины гипотенузы данного треугольника:

$R={c\over2}=2.5$

ответ: R=2.5