Question

Найдите наибольшее значение функции у=(х^2-14x+14)e^14-x

Answer 1

Вычислим производную функции:

$\tt y'=(x^2-14x+14)'\cdot e^{14-x}+(x^2-14x+14)\cdot (e^{14-x})'=\\ \\ \\ =(2x-14)e^{14-x}-(x^2-14x+14)e^{14-x}=\\ \\ \\ =e^{14-x}\cdot(2x-14-x^2+14x-14)=e^{14-x}(16x-x^2-28)$

Приравняем производную функции к нулю:

$\tt e^{14-x}(16x-x^2-28)=0\\ -x^2+16x-28=0|\cdot(-1)\\ x^2-16x+28=0$

По т. Виета

$\tt x_1=2\\ x_2=14$

___-__(2)___+__(14)__-___

х = 2 - точка минимума, а х = 14 - точка максимума.

Найдем значения функции в точке х = 14 :

$\tt f(14)=(14^2-14\cdot14+14)\cdot e^{14-14}=14$

ответ: 14.