Question

Доказать неравенство

Answer 1

В этих заданиях для меня проще выделить полный квадрат.

$a^2-3a5a-20\\ a^2-3a-5a+16-4\\ (a-4)^2-4$

неравенство верно для всех а.

$28a-32\leq 7a^2-4\\ 7a^2-28a-4+32\geq 0\\ 7a^2-28a+28\geq 0\\ 7(a^2-4a+4)\geq 0\\ 7(a-2)^2\geq0$

Левая часть - неотрицательно, неравенство верно для всех а.

Answer 2

1) Доказать:

а^2 - 3а > 5а - 20

Доказательство:

Оценим разность:

(а^2 - 3а) - (5а - 20) = а^2 - 3а - 5а + 20 = а^2 - 8а + 20 = а^2 - 8а + 16 + 4 = (а-4)^2 + 4.

Так как (а-4)^2 ≥ 0 при всех действительных а, то (а-4)^2 + 4 ≥ 4, т.е.

(а^2 - 3а) - (5а - 20) > 0, по определению

а^2 - 3а > 5а - 20, ч.т.д.

2) Доказать:

28а - 32 ≤ 7а^2 - 4

Доказательство:

Оценим разность:

(28а - 32) - (7а^2 - 4) = 28а - 32 - 7а^2 + 4 = -7а^2 + 28а - 28 = -7•(а^2 - 4а + 4) = -7•(а-2)^2.

Так как (а-2)^2 ≥ 0 при всех действительных а, то

-7•(а-2)^2 ≤ 0 при всех действительных а.

Получили, что

(28а - 32) - (7а^2 - 4) ≤ 0, тогда по определению

28а - 32 ≤ 7а^2 - 4, ч.т.д.