Question

Провести полное исследование и построить график функции: f(x)=x-lnx

Answer 1

task/24717253
Провести полное исследование и построить график функции:
f(x)=x-lnx
================================
1.
Область Определения Функции (ООФ) :  x >0 или иначе x ∈ (0 ;∞)
---
2.
функция ни четная , ни ничетная ,ни периодичная 
---
3.
 График с координатными  осями не пересекается
---
4.
определим  интервалы  монотонности и экстремумы 
f '(x) =(x -Lnx) ' = (x) ' - (Lnx) '  =1 -1/x = (x-1)/ x
f '(x) =0 ⇒  x=1   ( стационарная точка)
Если 0< x <1 , то   f '(x) <0 _ функция убывает 
Если   x > 1 , то   f '(x) >0_ функция возрастает
значит x=1 является точкой экстремума,именно точкой минимума
минимальное значение  f(1) =1 -Ln1 =1 -0 =1   
---
5.Точки перегибов , интервалы выпуклости , вогнутости 
f ''(x) =(f'(x)) ' =(1 -1/x) '  = (1 -x⁻¹ ) ' = 0 +1*x ⁻² =1/x²  >0 , следовательно
график   функции вогнутая   при всех  значениях из ООФ , т.е.
нет точек перегиба
6.
x=0 (иначе ось ординат) является вертикальной  асимптотой 
x→∞ , f(x)→∞

схематический график см прложения