ответ: существует 6 чисел
Объяснение:
1. Заметим, что никакое число, не превосходящее 1010, не может иметь высоту 4. Действительно, наименьшее число высоты 4 — это
2222=216, при этом это число больше 1010.
2. Между тем числа высоты 3, не превосходящие 1010, существуют. Например, 16=222 имеет высоту 3. Таким образом, задача свелась к подсчёту количества чисел высоты 3, не превосходящих 1010.
3. Заметим, что
29≤1010≤210,
36≤1010≤37,
44≤1010≤45,
54≤1010≤55,
63≤1010≤64.
4. Найдём количество чисел высоты 3, не превосходящих 1010. Это то же самое, что найти количество решений неравенства:
x1x2x3≤1010, xi≥2.
Если x1=2, то x2x3≤9, отсюда x2=x3=2, или x2=2, x3=3, или x2=3, x3=2. Отсюда получаем 3 решения.
Далее, если x1=3,4,5, получаем, что x2=x3=2, что даёт ещё три решения.
Наконец, при x1≥6 получаем, что x2x3≤3. Но так как xi≥2, то таких x2, x3 не существует.
5. Таким образом, получаем 3+3=6 чисел максимальной высоты, не превосходящих 1010.
ответ: n=k=1
Объяснение:
a) Простым перебором убеждаемся, что пары n=k=1 и n=3, k=2 являются решением уравнения. Теперь при n≥4 число 1!+...+n! в десятичной записи оканчивается на 3.
Действительно,
1!+2!+3!+4!=33, n=4,
1!+2!+3!+4!+...+n!=33+10k, n≥5,
поскольку n! делится на 10 при n≥5. Но квадрат натурального числа не может в десятичной записи оканчиваться на 3, следовательно, других решений данное уравнение не имеет.
б) Видим, что уравнение имеет решение n=k=1. Далее, при 2≤n≤6 и n=8 число
1!+2!+3!+4!+...+n!
делится на 3, но не делится на 27. Значит, при таких n уравнение не имеет решений. Теперь при n≥9 получаем, что число
1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!+8!+...+n!
делится на 3, но не делится на 27, поскольку n! делится на 27 при n≥9. Следовательно, уравнение не имеет решений при n≥9. Наконец, при n=7 видим, что
1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!=5913,
но это число не является m-й степенью никакого числа.
Получаем, что единственным решением этого уравнения будет n=k=1.
Длина вектора AB 11.18