Question

Количество различных корней уравнения sin5xcosx=sin4x на [3пи/2; 2пи]

Answer 1

$sin\ 5x*cos\ x=sin\ 4x$,                          $[ \frac{3 \pi }{2} ;2 \pi ]$

$\frac{1}{2} [sin(5x+x)+sin(5x-x)]=sin\ 4x$

$\frac{1}{2} (sin\ 6x+sin\ 4x)=sin \4x$

$sin\ 6x+sin\ 4x=2sin\ 4x$

$sin\ 6x+sin\ 4x-2sin\ 4x=0$

$sin\ 6x-sin\ 4x=0$

$2cos \frac{6x+4x}{2} *sin \frac{6x-4x}{2} =0$

$2cos\ 5x *sin \ x=0$

$cos\ 5x *sin \ x=0$

$cos\ 5x =0$                       или     $sin\ x=0$

$5x= \frac{\pi }{2} + \pi k,$ $k$ ∈ $Z$     или       $x= \pi n,$ $n$ ∈ $Z$

$x= \frac{\pi }{10} + \frac{ \pi k}{5} ,$  $k$ ∈ $Z$

$1)$
$k=5,$     $x= \frac{ \pi }{10} + \pi = \frac{11 \pi }{10}$ ∉    $[ \frac{3 \pi }{2} ;2 \pi ]$

$k=6,$     $x= \frac{ \pi }{10} + \frac{6 \pi }{5} = \frac{13 \pi }{10}$  ∉    $[ \frac{3 \pi }{2} ;2 \pi ]$
 
 $k=7,$     $x= \frac{ \pi }{10} + \frac{7 \pi }{5} = \frac{15 \pi }{10}=1.5 \pi$ 
 
 $k=8,$     $x= \frac{ \pi }{10} + \frac{8 \pi }{5} = \frac{17 \pi }{10}=1.7 \pi$

$k=9,$     $x= \frac{ \pi }{10} + \frac{9 \pi }{5} = \frac{19 \pi }{10}=1.9 \pi$

$k=10,$     $x= \frac{ \pi }{10} +2 \pi =2.1 \pi$  ∉    $[ \frac{3 \pi }{2} ;2 \pi ]$

$2)$
$n=0,$     $x= 0$  ∉   $[ \frac{3 \pi }{2} ;2 \pi ]$

$n=1,$     $x= \pi$  ∉    $[ \frac{3 \pi }{2} ;2 \pi ]$

$n=2,$     $x=2 \pi$      

ответ: $4$ различных корня