Question

Вычислить определенный интеграл интеграл 0 -2 (х^2 + 5х +6) cos2 xdx

Answer 1

$\int\limits^2_0 \, (x^2+5x+6)\, cos2x\, dx =[u=x^2+5x+6\; ,\; du=(2x+5)dx\; ,\\\\dv=cos2x\,dx\; ,\; v=\frac{1}{2}sin2x\; ]=uv|_0^2-\int \limits _0^2v\, du=\\\\=\frac{1}{2}(x^2+5x+6)\, sin2x\Big |_0^2- \frac{1}{2} \cdot \int\limits^2_0 (2x+5)\, sin2x \, dx =\\\\=[\; u=2x+5\, ,\, du=2\, dx\; ,\; dv=sin2x\, dx\; ,\; v=-\frac{1}{2}\, cos2x\; ]=$

$= \frac{1}{2}(20sin4-0)-\frac{1}{2} \Big (-\frac{1}{2}(2x+5)cos2x\Big |_0^2+ \int\limits^2_0 \, cos2x \, dx \Big )=\\\\=10\, sin4+\frac{1}{4}(2x+5)cos2x\Big |_0^2-\frac{1}{4}sin2x\Big |_0^2=$

$=10\, sin\, 4+\frac{1}{4}(9cos\, 4-5)-\frac{1}{4}\, sin\, 4=\\\\=\frac{39}{4}\, sin4+\frac{9}{4}\, cos\, 4-\frac{5}{4}$