Question

Решить всё что есть на фото! (докажите тождество)

Answer 1

2) (Sin²αCos²β + Sin²αSin²β) + (Cos²αSin²β + Cos²αCos²β) =

= Sin²α(Cos²β + Sin²β) + Cos²α(Sin²β + Cos²β) = Sin²α * 1 + Cos²α * 1 =

= Sin²α + Cos²α = 1

1 = 1

Что и требовалось доказать

$3)\frac{(Sin\alpha+Cos\alpha)^{2}-1}{Ctg\alpha-Sin\alpha Cos\alpha}=\frac{Sin^{2}\alpha+2Sin\alpha Cos\alpha+Cos^{2}\alpha-1}{\frac{Cos\alpha }{Sin\alpha}-Sin\alpha Cos\alpha}=\frac{1+2Sin\alpha Cos\alpha-1}{\frac{Cos\alpha(1-Sin^{2}\alpha)}{Sin\alpha}} =\frac{2Sin\alpha Cos\alpha*Sin\alpha}{Cos\alpha*Cos^{2}\alpha}=\frac{2Sin^{2}\alpha}{Cos^{2}\alpha}=2tg^{2}\alpha \\\\2tg^{2}\alpha=2tg^{2}\alpha$

Что и требовалось доказать

$4)\frac{Sin\alpha-Cos\beta}{Sin\beta+Cos\alpha}-\frac{Sin\beta-Cos\alpha}{Sin\alpha+Cos\beta}=\frac{Sin^{2}\alpha-Cos^{2}\beta-Sin^{2}\beta+Cos^{2}\alpha }{(Sin\beta+Cos\alpha)(Sin\alpha+Cos\beta)}=\frac{(Sin^{2}\alpha+Cos^{2}\alpha)-(Sin^{2}\beta+Cos^{2}\beta)}{(Sin\beta+Cos\alpha)(Sin\alpha+Cos\beta )} =\frac{1-1}{(Sin\beta+Cos\alpha)(Sin\alpha+Cos\beta)}=0$

Разность левой и правой части равна нулю, значит тождество доказано .

$5)1-Sin^{6}\alpha-Cos^{6}\alpha=1-[( Sin^{2}\alpha)^{3}+(Cos^{2}\alpha)^{3}]=1-(Sin^{2}\alpha+Cos^{2}\alpha)(Sin^{4}\alpha-Sin^{2}\alpha Cos^{2}\alpha+Cos^{4}\alpha)=1-[(Sin^{2}\alpha+Cos^{2}\alpha)-3Sin^{2}\alpha Cos^{2} \alpha]=1-1+3Sin^{2}\alpha Cos^{2}\alpha=3Sin^{2}\alpha Cos^{2}\alpha\\\\3Sin^{2}\alpha Cos^{2}\alpha=3Sin^{2}\alpha Cos^{2}\alpha$

Что и требовалось доказать