Question

На параболе у=х^2 найти точку, расстояние от которой до точки а (2; 0; 5) является наименьшим

Answer 1

Распишем формулу, с которой можно рассчитать квадрат расстояния от точки (2; 0,5) до точки с координатами (х; х^2). Почему квадрат? Просто чтобы не париться каждый раз писать значок квадратного корня и не усложнять потом нахождение производной - ведь функция х^2 возрастает на положительном участке числовой оси, т.е. если квадрат расстояния будет минимальным, то и само расстояние тоже будет минимальным. Итак, расписываем, чему равен квадрат расстояния:
$(x-2)^2+(x^2-0,5)^2=x^2-4x+4+x^4-x^2+0,25= \\ =x^4-4x+4,25$
Найдем производную, приравняем ее к нулю и решим получившееся уравнение, тем самым определим критическую точку (или критические точки):
$f'(x)=4x^3-4 \\ 4x^3-4 =0 \\ 4(x^3-1)=0 \\ 4(x-1)(x^2+x+1)=0 \\ x=1$
Уравнение производной имеет только один корень, т.е. у функции есть лишь одна критическая точка. Исследуем промежутки монотонности:
при х<1    f'(x)<0, функция убывает;
при  х>1   f'(x)>0, функция возрастает;
это означает, что в точке х=1 находится минимум функции.
Итак, мы нашли точку параболы у=х^2, расстояние от которой до заданной точки минимально. Это точка с координатами х=1; у=1.

ответ: (1; 1)