Question

Скажите, , можно ли раскрыть модуль следующим образом: дано неравенство 3x - |x+8| - |1-x| ≤ -6 расписываем как систему |- (x+8) - (1-x) ≤ - 3x-6 и |- (x+8) + (1-x)| ≤ - 3x-6 или есть проще ?

Answer 1

Надо найти точки, где выражение по знаком модуля меняет знак.А затем раскрывать модуль в зависимости от знака выражения по модулем.
Так как (х+8)=0  при х= -8 и  (1-х)=0  при х=1, то числовая ось будет разбита на 3 промежутка. Поэтому надо рассматривать 3 случая.

$3x-|x+8|-|1-x| \leq -6\\\\|x+8|+|1-x| \geq 3x+6\\\\Znaki \; (x+8):\quad ---(-8)+++(1)+++\\\\Znaki\; (1-x):\quad +++(-8)+++(1)---\\\\a)\; \; x \leq -8:\; \; |x+8|=-(x+8)=-x-8\; ,\; \; |1-x|=1-x\\\\-x-8+1-x \geq 3x+6\; \; \to \; \; 5x \leq -13\; ,\; \; x \leq -\frac{13}{5}\; ,\; \; x\leq -2,6\\\\ \left \{ {{x \leq -8} \atop {x \leq -2,6}} \right. \; \; \to \; \; x \leq -8\\\\x\in (-\infty ,-8\, ]\\\\b)\; \; -8\ \textless \ x \leq 1:\; \; |x+8|=x+8\; ,\; \; |1-x|=1-x\\\\x+8+1-x\geq 3x+6\; \; \to \; \; 3x \leq 3\; \; ,\; \; x \leq 1$

$\left \{ {{-8\ \textless \ x \leq 1} \atop {x \leq 1}}\right. \; \; \to \; \; \; x\in (-8,1\, ]\\\\c)\; \; x1:\; \; |x+8|=x+8\; ,\; \; |1-x|=x-1\\\\x+8+x-1 \geq 3x+6\; \; \to \; \; x \leq 1$

$\left \{ {{x\ \textgreater \ 1} \atop {x \leq 1}}\right. \; \; \; \to \; \; \; x\in \varnothing \\\\ \left \{ {{x\in (-\infty ,-8]} \atop {x\in (-8,1\, ]}}\right. \; \; \to \; \; x\in (-\infty ,1\, ]\\\\Otvet:\; \; x\in (-\infty ,1\, ]\; .$