Хорошо, давайте посчитаем данный интеграл шаг за шагом.
Интеграл, который нам нужно посчитать, имеет вид:
∫(от -√3 до +√3) √(3-x^2) dx.
Для начала, заметим, что под интегралом у нас стоит функция √(3-x^2), которая описывает часть единичного окружности в первой четверти (по теореме Пифагора: x^2 + y^2 = 3, где y = √(3-x^2)). Таким образом, мы можем использовать эту информацию для упрощения задачи.
Далее, проведем замену переменной. Пусть x = √3 sin(t), где t - новая переменная. Тогда dx = √3 cos(t) dt.
Используем эти замены в нашем интеграле:
∫(от -√3 до +√3) √(3-x^2) dx = ∫(от -π/3 до +π/3) √(3 - (√3sin(t))^2) √3cos(t) dt.
Упростив выражение под интегралом и объединив √3cos(t), получаем:
∫(от -π/3 до +π/3) √(3 - 3sin^2(t)) √3cos(t) dt = 3∫(от -π/3 до +π/3) cos^2(t) dt.
Используя формулу двойного угла для косинуса (cos^2(t) = (1 + cos(2t))/2), получаем:
3∫(от -π/3 до +π/3) (1 + cos(2t))/2 dt.
Разобьем данный интеграл на два отдельных интеграла:
(3/2)∫(от -π/3 до +π/3) dt + (3/2)∫(от -π/3 до +π/3) cos(2t) dt.
Первый интеграл ∫(от -π/3 до +π/3) dt просто равен длине данной части окружности, которая равна 2π/3.
Во втором интеграле ∫(от -π/3 до +π/3) cos(2t) dt можно произвести замену u = 2t, тогда du = 2 dt. Таким образом, он превращается в:
(3/4)∫(от -2π/3 до +2π/3) cos(u) du.
Интеграл ∫(от -2π/3 до +2π/3) cos(u) du равен sin(u) от -2π/3 до +2π/3, то есть sin(2π/3) - sin(-2π/3), что равно корню из 3.
Таким образом, наш итоговый ответ:
(3/2) * (2π/3) + (3/4) * (корень из 3) = π + (корень из 3).
Таким образом, интеграл от -√3 до +√3 √(3-x^2) dx равен π + корень из 3.
1. (46) А) Вынести общий множитель за скобки 25х - 5xy:
Чтобы вынести общий множитель, нужно взять наименьшее число, на которое делится каждый член данного выражения. В данном случае это число 5:
25х - 5xy = 5x(5 - y)
Б) Разложить на множители 12в'к? + 6вк - Зв° к:
Чтобы разложить на множители, нужно найти общие множители для каждого члена выражения и вынести их в скобки. Затем объединить общие множители.
В данном случае, общий множитель для всех членов выражения это 6вк:
12в'к? + 6вк - Зв° к = 6вк(2в'к? + 1 - зк)
В) Представить в виде квадрата двучлена: 9a® — ба + 1.
Чтобы представить выражение в виде квадрата двучлена, нужно посмотреть на члены выражения и посчитать, какое выражение стоит возвести в квадрат, чтобы получить данное выражение.
В данном случае, если возвести (3а - 1) в квадрат, то получим:
(3а - 1)² = (3а)² - 2*3а*1 + 1² = 9а² - 6а + 1
Значит, 9a® — ба + 1 представляется в виде квадрата двучлена (3а - 1)².
Г) Решите уравнение, предварительно разложив левую часть уравнения на множители: 5x®- 5х = 0.
Чтобы разложить левую часть уравнения на множители, нужно вынести общий множитель. Каждый член данного выражения делится на 5х, таким образом, общий множитель это 5х:
5x(х - 1) = 0
Теперь рассмотрим, как можно получить ноль.
Умножение двух чисел даст ноль, только если хотя бы одно из чисел равно нулю.
То есть, 5х = 0 или (х - 1) = 0.
Отсюда, получаем два возможных решения:
1) 5х = 0 -> х = 0,
2) (х - 1) = 0 -> х = 1.
Таким образом, уравнение 5x®- 5х = 0 имеет два возможных решения: х = 0 или х = 1.
Я надеюсь, что мои объяснения были понятны и помогли вам. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спросите!
7π/3↔4*2π-2/3 π -2/3π ↔2π-2π/3=4π/3
-3π/4=2π-3π/4=3/4π