Объяснение:
1.
(17³ + 16³) / 33- 17 × 16 = (4913 + 4096) / 33 - 272 = 9009 / 33 - 272 = 273 - 272 = 1
2.
a) 3b³ - 24 = 3(b³ - 8) = 3(b - 2)(b² + 2b + 4)
b) a² - 8ay + 16y² + 3a - 12y = (a - 4y)² + 3(a - 4y) = (a - 4y)(a - 4y + 3)
3.
a) (2y - 5)² + (3y - 5)(3y + 5) + 40y = 4y² - 20y + 25+ 9y² - 25 + 40y = 13y² + 20y
b) При y = -2:
13 × (-2)² + 20 × (-2) = 52 - 40 = 12
4.
x - y = 3, x² - y² = 87
x = 3 + y, x² - y² = 87
(3 + y)² - y² = 87
9 + 6y + y² - y² = 87
9 + 6y = 87
6y = 87 - 9
6y = 78
y = 13
x = 3 + 13
x = 16
(x, y) = (16, 13)
Таблица точек
x y
-3.0 -18
-2.5 -8.1
-2.0 -2
-1.5 1.1
-1.0 2
-0.5 1.4
0 0
0.5 -1.4
1.0 -2
1.5 -1.1
2.0 2
2.5 8.1
3.0 18
Точка пересечения графика функции с осью координат Y:
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в x³-3x.
у =0³-3*0 = 0,
Результат: y=0. Точка: (0; 0.
Точки пересечения графика функции с осью координат X:
График функции пересекает ось X при y=0, значит, нам надо решить уравнение:
x³-3x = 0
Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с X:
x (х²-3) = 0,
х1 = 0, х2,3 = +-√3.
Результат: y=0. Точки: (0; -√3), (0; 0) и (0; √3).
Экстремумы функции:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y'=3x² – 3 = 0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:
3(х²-1) = 0,
х1 = 1, х2 = -1.
Результат: y’=0. Точки: (-1; 2) и (1; -2). Это критические точки.
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдем значения производной между критическими точками:
x = -2 -1 0 1 2
y' = 9 0 -3 0 9.
• Минимум функции в точке: х = -1,
• Максимум функции в точке: х = 1.
• Возрастает на промежутках: (-∞; -1) U (1; ∞)
• Убывает на промежутке: (-1; 1)
Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции:
y'' = 6x = 0
Отсюда точка перегиба х = 0
Точка: (0; 0).
Интервалы выпуклости, вогнутости:
Находим знаки второй производной на промежутках (-∞; 1) и (1; +∞).
х = -1 0 1
y'' = -6 0 6.
Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.
• Вогнутая на промежутках: (0; ∞),
• Выпуклая на промежутках: (-∞; 0)
Вертикальные асимптоты – нет.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим:
• lim x3-3x, x->+∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
• lim x3-3x, x->-∞ = -∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует
Наклонные асимптоты графика функции:
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы:
• lim x3-3x/x, x->+oo = oo, значит, наклонной асимптоты справа не существует.
• lim x3-3x/x, x->-oo = oo, значит, наклонной асимптоты слева не существует.
Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с соотношений f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем:
• (-x3)-3(-x) = -x3+3x нет,
• (-x3)-3(-x) = -(x3-3x) – да, значит, функция является нечётной.
(a^2b-2ab+b)+(ab^2-2ab+a)>=0
b(a^2-2a+1)+a(b^2-2b+1)>=0
a(b-1)^2+b(a-1)^2>=0 (2)
a>=0
(b-1)^2>=0
a(b-1)^2>=0 (3)
b>=0
(a-1)^2>=0
b(a-1)^2>=0 (4)
Исходя из (3) и (4) доказывается (2), а значит, и (1).