Question

С,модуль "". точки m и n лежат на стороне ас треугольника авс на расстояниях соответственно 12 и 21 от вершины а.найдите радиус окружности,проходящей через точки м и n касающейся луча ав,если косинус угла вас= корень из семи делить на 4. p.s напишите как решить это .буду !

Answer 1

По теореме о касательной и секущей:
$AE^2=AM*AN \\AE=\sqrt{AM*AN}=\sqrt{12*21}=\sqrt{252}=2\sqrt{63}=6\sqrt{7} \\$
в треугольнике AEM найдем EM по теореме косинусов:
$EM^2=AE^2+AM^2-2AE*AM*cos(BAC) \\EM^2=252+144-2*6\sqrt{7}*12* \frac{\sqrt{7}}{4} \\EM^2=396- \frac{2*12*7*6}{4}=396- 252=144 \\EM=12$
Также в треугольнике AEN найдем сторону EN:
$EN^2=AE^2+AN^2-2AE*AN*cos(BAC) \\EN^2=252+441-2*6\sqrt{7}*21* \frac{\sqrt{7}}{4} \\EN^2=693- \frac{2*7*21*6}{4}=693-441=252 \\EN=6\sqrt{7}$
так как EN=AE, то треугольник AEN - равнобедренный, следовательно угол EAN равен углу ENA.
используя основное тригонометрическое тождество найдем sin ENA:
$cos^2(ENA)+sin^2(ENA)=1 \\cos(ENA)=cos(EAN)= \frac{\sqrt{7}}{4} \\sin(ENA)=\sqrt{1-\frac{7}{16} }= \sqrt{ \frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$
по теореме синусов найдем радиус окружности:
$2R= \frac{EM}{sin(ENA)} \\2R=12: \frac{3}{4} \\2R=16 \\R=8$
ответ: R=8