На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,02. найти на вероятность того, что среди 150 соединений произойдет: а) хотя бы 4 неправильных соединения; б) больше двух неправильных соединений.
Испытания Бернулли: пусть есть n независимых испытаний, вероятность успеха в каждом из них равна p, вероятность неудачи q = 1 - p. Тогда вероятность того, что будет ровно k успехов равна C(n, k) p^k q^(n - k), где C(n, k) - биномиальный коэффициент C(n, k) = n! / (k! (n - k)!)
В обоих случаях будем искать вероятность того, что описанное в условии не произойдет - так проще.
б) всё точно также, только не надо учитывать P(4). P(<=2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.0483 + 0.1478 + 0.2248 = 0.421 P(>2) = 1 - 0.421 = 0.579
Можно сравнить точные результаты с приближенными. Тут можно вопрольззоваться теоремой Пуассона, P(k) = (np)^(-k) / k! * exp(-np). Легко проверить, что в этом приближении P(<=2) = 0.423... (ошибка в третьем знаке после запятой), P(<=3) = 0.64723... (ошибка в пятом знаке)
Пересечение с осью абсцисс определяется равенством y(x) = 0.
8x³-1=0 8x³=1 x³=1/8 x=1/2
Уравнение касательной - y=kx+b. Коэффициент k соответствует значению первой производной в точке касания. Параметр b определяется фактом того, что в точке касания значение касательной равно значению функции в этой точке, т.е. 0.
y'(x)=8*3x²=24x² y'(1/2)=24(1/2)²=24/4=6
Значит, уравнение касательной равно 6x+b. В точке x=1/2 ее значение равно 6*(1/2)+b = 3+b При этом оно должно быть равно 0: 3+b=0 b=-3
Т.о., уравнением касательной в точке пересечения функции с осью абсцисс, является y=6x-3
Решение Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части во вторую степень и получим слева просто x+3, а справа сокращенное умножение квадрата суммы: Приведем подобные члены и вычислим квадратное уравнение, приравняв результат к нулю: График функции - парабола. Ветви вниз, так как коэффициент при . Найдем корни квадратного уравнения: Корни квадратного уравнения - точки пересечения с осью X. Так как условие неравенства - больше или равно, то интервал включает в себя значения корней уравнения. ответ: а) [-3;-2]
.
- больше или равно, то интервал включает в себя значения корней уравнения.![Множеством решений неравенство корень x+3 больше или равно x+3 является: а)[-3; -2] б) [-3; +бесконе](/tpl/images/0452/4217/6c3e9.jpg)
В обоих случаях будем искать вероятность того, что описанное в условии не произойдет - так проще.
а) Противоположное событие: произвошло меньше 4 неправильных соединений (т.е. 0, 1, 2 или 3).
P(не было неудачных) = (1 - 0,02)^150 = 0.98^150 = 0.0483
P(одно неудачное) = 150 * (1 - 0,02)^149 * 0.02 = 0.1478
P(два неудачных) = 150 * 149 / 2 * (1 - 0,02)^148 * 0.02^2 = 0.2248
P(3) = 150 * 149 * 148 / 6 * (1 - 0.02)^147 * 0.02^3 = 0.2263
P(<4) = 0.0483 + 0.1478 + 0.2248 + 0.2263 = 0.647
P(>=4) = 1 - 0.647 = 0.353
б) всё точно также, только не надо учитывать P(4).
P(<=2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.0483 + 0.1478 + 0.2248 = 0.421
P(>2) = 1 - 0.421 = 0.579
Можно сравнить точные результаты с приближенными. Тут можно вопрольззоваться теоремой Пуассона, P(k) = (np)^(-k) / k! * exp(-np).
Легко проверить, что в этом приближении P(<=2) = 0.423... (ошибка в третьем знаке после запятой), P(<=3) = 0.64723... (ошибка в пятом знаке)