Question

Найдите наименьшее значение функции y=10cosx+10x+8 на отрезке [0; п]

Answer 1

Вычислим производную функции.
$y'=(10\cos x+10x+8)'=(10\cos x)'+(10x)'+(8)'=\\ \\ =-10\sin x+10.$

Приравниваем производную функции к нулю
$-10\sin x+10=0\\ \sin x=1\\x= \frac{\pi}{2}+2 \pi k,k \in Z$

Отберем корни на отрезке [0;π].
Если k=0, то $x=\frac{\pi}{2}$

Вычислим значения функций на концах отрезка
$y(0)=10\cos 0+10\cdot 0+8=10+8=18$ - наименьшее
$y(\frac{\pi}{2})=10\cos\frac{\pi}{2}+10\cdot\frac{\pi}{2}+8=5 \pi +8\approx23.708\\ y( \pi )=10\cos \pi +10 \pi +8=-10+10 \pi +8=10 \pi -2\approx29.416$