Question

Докажите используя метод индукции: пусть дана последовательность an, где an=n(3n+1). докажите что сумма sn первых членов этой последовательности может быть вычеслена по формуле sn=n(n+1)^2

Answer 1

Сначала убедимся что формула верна при n=1
S1=1*2^2=1*4 - верно.
предположим что формула верна при n=k
$S_k=k(k+1)^2$
теперь докажем что формула верна при n=k+1, тоесть докажем что:
$S_{k+1}=(k+1)(k+2)^2$
Имеем:
$S_{k+1}=S_k+a_{k+1}$
по формуле n члена последовательности находим:
$a_{k+1}=(k+1)(3k+3+1)=(k+1)(3k+4)$
Значит:
$S_{k+1}=k(k+1)^2+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k^2+k+3k+4)= \\=(k+1)(k^2+4k+4)=(k+1)(k+2)^2$
значит формула верна при n=k+1, следовательно данная формула будет верной при любом натуральном n