Question

Решить параметр. при каких значениях а, выражение будет иметь единственное решение

Answer 1

$x^2 - 2a \cdot sin(cosx) + a^2 = 0 \\ \\ x^2 + a^2 = 2a \cdot sin(cosx) \\ \\ \dfrac{x^2}{a} + a = 2sinx(cosx)$

Пусть a = 0.
Тогда 
$x^2 - 2 \cdot 0 \cdot sin(cosx) + 0 = 0 \\ \\ x^2 = 0 \\ \\ x = 0$

$y = \dfrac{x^2}{a} + a \\ \\ y = 2sin(cosx)$
Графиком первой функции является парабола. Вторая функция будет являться чётной:
y(-x) = 2sin(cos(-x) = 2sincosx, значит, y(x) = y(-x). 
Найдём область значений второй функции:
Пусть y = f(x) = 2sin(g(x))
E(g) = [-1; 1]
Тогда E(x) = [2sin(-1); 2sin1]
Чтобы парабола и данная периодическая функция пересекались в одной точке, вершина параболы должна лежать на графике периодической функции. Это будет только тогда, когда значение a будет равно наибольшему значению из области значений периодической функции, т.е.  a = 2sin1.
ответ: при a = 2sin1; 0.  

Answer 2

Случай 1. Если а=0, то $x=0$.

Случай 2. Если х = 0, то $a^2-2a\sin1=0$. Выносим общий множитель, получим $a(a-2\sin 1)=0$ откуда $a_1=0;\,\,\, a_2=2\sin1$

ответ: 0; 2sin 1.