В решении.
Объяснение:
Освободиться от иррациональности в знаменателе.
1) b/2√5;
Умножить числитель и знаменатель на √5:
b/2√5 * √5/√5 = b *√5 /2√5 *√5 = b√5/2 * 5 = b√5/10;
2) 8/(3 - √t);
Умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение
(3 + √t):
8/(3 - √t) * (3 + √t)/(3 + √t) =
= 8 * (3 + √t)/(3 - √t) * (3 + √t) =
в знаменателе развёрнута разность квадратов, свернуть:
= 8(3 + √t)/(3² - (√t)²) =
= 8(3 + √t)/(9 - t).
3) c/(√c + √5);
Умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение
(√c - √5):
c/(√c + √5) * (√c - √5)/(√c - √5) =
= с * (√c - √5)/(√c + √5) * (√c - √5) =
в знаменателе развёрнута разность квадратов, свернуть:
=с * (√c - √5)/((√c)² - (√5)²) =
= с(√c - √5)/(с - 5).
Пусть y = uv, тогда y' = u'v + uv':
Решим левый интеграл:
cosx = \frac{1-t^2}{1+t^2} => dx = \frac{2}{1+t^2}dt\\ \int \frac{2(1+t^2)}{(1+t^2)(1-t^2)} dt = \int \frac{2}{(1-t)(1+t)}dt = \int ( \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t})dt = ln(1-t)+ln( 1+t) = ln|1-t^2| = ln|1-tg^2\frac{x}{2}| \\" class="latex-formula" id="TexFormula2" src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bcosx%7D%3B%5C%5C%20tg%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%3Dt%20%3D%3E%20cosx%20%3D%20%5Cfrac%7B1-t%5E2%7D%7B1%2Bt%5E2%7D%20%3D%3E%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B1%2Bt%5E2%7Ddt%5C%5C%20%20%5Cint%20%5Cfrac%7B2%281%2Bt%5E2%29%7D%7B%281%2Bt%5E2%29%281-t%5E2%29%7D%20dt%20%3D%20%5Cint%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%281-t%29%281%2Bt%29%7Ddt%20%3D%20%5Cint%20%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1-t%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bt%7D%29dt%20%3D%20ln%281-t%29%2Bln%28%201%2Bt%29%20%3D%20ln%7C1-t%5E2%7C%20%3D%20ln%7C1-tg%5E2%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7C%20%20%5C%5C" title="\int \frac{dx}{cosx};\\ tg\frac{x}{2}=t => cosx = \frac{1-t^2}{1+t^2} => dx = \frac{2}{1+t^2}dt\\ \int \frac{2(1+t^2)}{(1+t^2)(1-t^2)} dt = \int \frac{2}{(1-t)(1+t)}dt = \int ( \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t})dt = ln(1-t)+ln( 1+t) = ln|1-t^2| = ln|1-tg^2\frac{x}{2}| \\">
Возвращаемся к исходному: