Question

Докажите неравенство: (a+2)×(b+3)×(ab+1.5)> _(больше или равен)24ab, a,b> _(больше или равен) 0.

Answer 1

Для каждой скобки левой части используем неравенство Коши:

$a + 2 \geq 2 \sqrt{2a}$
$b+3 \geq 2 \sqrt{3b}$
$ab + 1.5 \geq 2\sqrt{1.5ab}$

Поскольку $a \geq 0, b \geq 0$, то левые и правые части написанных неравенств, очевидно, неотрицательны. Поэтому можем перемножить неравенства:

$(a+2)(b+3)(ab+1.5) \geq 2 \sqrt{2a} * 2 \sqrt{3b} * 2 \sqrt{1.5ab} = 8 \sqrt{9 a^{2} b^{2} } = 8 * 3ab \\ =24ab$, что и требовалось доказать.