Question

Выберем среди всех натуральных чисел с нечетной суммой цифр те, которые не больше 1000, и сложим их. сколько получится?

Answer 1

$(1+3+5+7+9)+(10+12+...+18+21+23+...+29+30+...+\\ +38+41+...+49+50+...+98)=25+(\frac{10+18}{2}\cdot5+\frac{21+29}{2}\cdot5+\\ +\frac{30+38}{2}\cdot5+\frac{41+49}{2}\cdot5+...+\frac{90+98}{2}\cdot5)=25+5\cdot(14+25+34+\\ +45+54+65+74+85+94)=25+5\cdot(\frac{14+94}{2}\cdot5+\frac{25+85}{2}\cdot4)=\\ 25+5\cdot(54\cdot5+55\cdot4)=25+5\cdot490=2475.$
Эта сума чисел будет повторяться в числах из четным количеством сотен: 2, 4, 6 и 8. (Количество таких чисел равно $5\cdot10=50$)

$(2+4+6+8)+(11+13+...+19+20+22+...+28+31+...+\\ +39+40+...+48+51+...+99)=20+(\frac{11+19}{2}\cdot5+\frac{20+28}{2}\cdot5+\\ +\frac{31+39}{2}\cdot5+\frac{40+48}{2}\cdot5+...+\frac{91+99}{2}\cdot5)=20+5\cdot(15+24+35+\\ +44+55+64+75+84+95)=20+5\cdot491=2475.$
Эта сума чисел будет повторяться в числах из нечетным количеством сотен: 1, 3, 5, 7 и 9. (Количество таких чисел равно $5\cdot10=50$)

В итоге получим общую сумму таких чисел:
$2475\cdot10+50\cdot(200+400+600+800)+\\+50\cdot(100+300+500+700+900)+1000=\\ =24750+100000+125000+1000=250750$

Answer 2

Каждое число от 1 до 999 с нечетной суммой цифр имеет один из следующих четырех видов: 2k+1, 2k+10, 2k+100, 2k+111, где k=100a+10b+c и а,b,c∈{0,1,2,3,4}, причем любая такая упорядоченная тройка (a,b,c) однозначно задает k. Т.е. k - это все числа до 444, записываемые только цифрами от 0 до 4. Тогда 2k+1 - это все числа до 999 с нечетной младшей цифрой, а остальными четными, 2k+10 - числа  с нечетной цифрой десятков, а остальными цифрами четными и т.д. 2k+111 - числа с тремя нечетными цифрами. Только у этих чисел сумма цифр нечетна. Поэтому, чтобы найти искомую сумму, надо просуммировать по всем таким k величину  (2k+1)+(2k+10)+(2k+100)+(2k+111)=8k+222.
Всего имеется 5³=125  троек (a,b,c). Среди них цифра а (также как и цифры b, c) будет принимать каждое значение от 0 до 4 в 125/5=25 тройках. Значит сумма всех таких k будет равна (0+1+2+3+4)·25·(100+10+1)=27750. Итак, искомая сумма равна  8·27750+222·125+1000=250750.