Question

Решить, sin(x)+cos(x)+sin(x)*cos(x)=0

Answer 1

Sin x + cos x + sin x·cos x = 0
Метод введения универсальной тригонометрической подстановки:
Пусть  sin x + cos x = t .
После возведения обеих частей этого равенства в квадрат и применения основного тригонометрического тождества получим:
1 + 2sin x·cos x = t²
$\sin x\ \cdot\ \cos x = \frac{t^2-1}{2}$
Подставим в исходное уравнение:
$t+\frac{t^2-1}{2} =0\\ t^2+2t-1=0\\ D=4+4=8\\t_1= \frac{-2+ 2\sqrt{2} }{2} =-1+ \sqrt{2} ;\\ t_2= \frac{-2- 2\sqrt{2} }{2} =-1- \sqrt{2} .$
Вернемся к х.
$1)\ \sin x+\cos x=-1- \sqrt{2}$
Не имеет решений, т.к. |sin x| ≤ 1 и |cos x| ≤ 1, тогда sin x - cos x > -1
$2)\ \sin x+\cos x=-1+\sqrt{2}\\ \sin (x+ \phi)=\dfrac{-1+ \sqrt{2} }{ \sqrt{1+1} };\ \ tg \ \phi = \frac{1}{1} =1\ \Rightarrow \phi= \frac{ \pi }{4} \\ \sin (x+\frac{ \pi }{4})=\dfrac{-1+ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} }\\ x+\frac{ \pi }{4}=(-1)^n \arcsin \dfrac{\sqrt{2} -1}{ \sqrt{2} }+ \pi n,\ n \in Z\\ x=-\frac{ \pi }{4}+(-1)^n \arcsin \dfrac{2-\sqrt{2} }{ 2 }+ \pi n,\ n \in Z.$
ответ: $-\frac{ \pi }{4}+(-1)^n \arcsin \dfrac{2-\sqrt{2} }{ 2 }+ \pi n,\ n \in Z.$