Question

Решить уравнение x^4-6x^3+6x^2+10x-3=0

Answer 1

По теореме безу корнями уравнение могут быть целые делители свободного члена.
В данном случае это 1;-1;2;-2;3;-3
подставляем эти числа в уравнение и находим, что числа (-1) и 3 являются корнями этого уравнения.
значит это уравнение можно представить как:
$x^4-6x^3+6x^2+10x-3=(x+1)(x-3)(x^2+px+q)= \\=(x^2-3x+x-3)(x^2+px+q)=(x^2-2x-3)(x^2+px+q)$
находим p и q:
$(x^2-2x-3)(x^2+px+q)=x^4+px^3+qx^2-2x^3-2px^2-2qx \\-3x^2-3px-3q=(px^3-2x^3)+(qx^2-2px^2-3x^2)-(2qx+3px) \\-3p+x^4=x^4+x^3(p-2)+x^2(q-2p-3)-x(2q+3p)-3p$
так как:
$x^4-6x^3+6x^2+10x-3=x^4+x^3(p-2)+x^2(q-2p-3)-x(2q+3p)-3p$
то составляем систему:
p-2=-6
q-2p-3=6
решаем:
p=-6+2=-4
q+8-3=6
q=6-5=1
тогда исходное уравнение приводится к виду:
$(x+1)(x-3)(x^2-4x+1)=0$
решаем:
$x_1=-1 \\x_2=3 \\x^2-4x+1=0 \\D=16-4=12 \\x_3= \frac{4+\sqrt{12}}{2}= \frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3} \\x_4=2-\sqrt{3}$
ответ: $x_1=-1;\ x_2=3;\ x_3=2+\sqrt{3};\ x_4=2-\sqrt{3}$