Объяснение:
Область значения функции - это множество, которое может принимать y
1) y = x² - 3x.
График - парабола. Так как ветви вверх, то минимальное значение находится в вершине.
y = -D/4a, где D = b² - 4ac
D = 9 - 4 * 1 * 0 = 9 - 0 = 9
y(min) = -9/4 = -2.25
Значит, множество значений y: [-2.25; +∞)
б) y = √x
Так как корень из числа - число неотрицательное, то множество значений такой функции равно y: [0; +∞)
в) y = 2/x
График - гипербола, ветви которых расположены в I и III четвертях. Данная функция имеет точку разрыва второго рода в точке x = 0, где стремится к -∞ слева, а к +∞ справа. Таким образом, множество значений этой функции y = (-∞; 0) ∪ (0;+∞)
г) y = √(x²) = |x|.
Модуль - функция неотрицательная, таким образом, ее область значений такая же, как и в пункте б)
y ⊂ [0; +∞)
д) y = 1/(2x-3)
Точно такая же гипербола, как и в пункте в)
Объяснение такое же:
y ⊂ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)
е) y = 2x^4 + 3x² + 1
Выполним замену x² = t, получим:
y(t) = 2t² + 3t + 1.
Снова парабола, ветви вверх, значит, минимальное значение в вершине. Подробнее я расписал пункт а)
y = -D/4a; D = b² - 4ac = 1
y = -1/4 = -0.25
y ⊂ [-0.25; +∞)
(x + 5)(x - 1)(x + 7)(x - 3) = 297
(x² - x + 5x - 5)(x² - 3x + 7x - 21) = 297
(x² - 4x - 5)(x² - 4x - 21) = 297
(x² - 4x - 5)(x² - 4x - 5 - 16) = 297
Пусть t = x² - 4x - 5.
t(t - 16) = 297
t² - 16t - 297 = 0
t² - 16t + 64 - 64 - 297 = 0
(t - 8)² - 361 = 0
(t - 8)² - 19² = 0
(t - 8 - 19)(t - 8 + 19) = 0
(t - 25)(t + 11) =0
t = -11; 27
Обратная замена:
1) x² - 4x - 5 = -11
x² - 4x - 5 + 11 = 0
x² - 4x + 6 = 0
x² - 4x + 4 + 2 = 0
(x - 2)² = -2
Уравнение не имеет корней, т.к. квадрат числа не может быть отрицательным числом.
2) x² - 4x - 5 = 27
x² - 4x - 5 - 27 = 0
x² - 4x - 32 = 0
x² - 4x + 4 - 36 = 0
(x - 2)² - 6² = 0
(x - 2 - 6)(x - 2 + 6) = 0
(x - 8)(x + 4) = 0
x = -4; 8.
ответ: x = -4; 8.
2. ОДЗ:
x ≠ 0
Пусть t = x/(x² + 1).
t + 1/t = 2,9
t² - 2,9t + 1 = 0
10t² - 29t + 10 = 0
D = 29² - 10·4·10 = 841 - 400 = 441 = 21²
t₁ = (29 + 21)/20 = 5/2
t₂ = (29 - 21)/20 = 8/20 = 2/5
Обратная замена:
x/(x² + 1) = 5/2
2x = 5x² + 5
5x² - 2x + 5 = 0
D = 4 - 5·5·4 < 0 ⇒ нет корней
x/(x² + 1) = 2/5
5x = 2x² + 2
2x² - 5x + 2 = 0
D = 25 - 2·2·4 = 9 = 3²
x₁ = (5 + 3)/4 = 2
x₂ = (5 - 3)/4 = 2/4 = 1/2
ответ: x = 1/2; 2.