Question

Sin^2x-2cos2x=sin2x решение тригонометрических уравнений

Answer 1

Sin²x - 2cos2x = sin2x
Разложим синус и косинус удвоенных аргументов по формулам:
sin2A = 2sinAcosA
cos2a = cos²A - sin²A
sin²x - 2(cos²x - sin²x) = 2sinxcosx
sin²x - 2cos²x + 2sin²x - 2sinxcosx = 0
3sin²x - 2sinxcosx - 2cos²x = 0     |:cos²x
3tg²x - 2tgx - 2 = 0
Пусть t = tgx.
3t² - 2t - 2 = 0
D = 4 + 2·4·3 = 28 = ( 2√7)²
t₁ = (2 + 2√7)/6 = (1 + √7)/3
t₂ = (2 - 2√7)/6 = (1 - √7)/3
Обратная замена:
tgx = (1 + √7)/3
x = arctg[(1 + √7)/3] + πn, n ∈ Z
tgx = (1 - √7)/3
x = arctg[(1 - √7)/3] + πn, n ∈ Z
ответ: x = arctg[(1 + √7)/3] + πn, n ∈ Z; arctg[(1 - √7)/3] + πn, n ∈ Z.

Answer 2

Воспользовавшись формулой понижения степени, получим
  $\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2} -2\cos 2x=\sin 2x\\ \\ 1-\cos 2x-4\cos 2x=2\sin2x\\ \\ 2\sin 2x+5\cos 2x=1$

Здесь в левой части используем формулу, содержащего дополнительного угла

$\sqrt{2^2+5^2}\sin(2x+\arcsin \frac{5}{ \sqrt{2^2+5^2} } )=1\\ \\ \sin(2x+\arcsin \frac{5}{ \sqrt{29} } )= \frac{1}{\sqrt{29} } \\ \\ 2x=(-1)^k\cdot \arcsin\frac{1}{ \sqrt{29} } -\arcsin\frac{5}{ \sqrt{29} } + \pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ \\ \boxed{x=(-1)^k\cdot \frac{\arcsin\frac{1}{ \sqrt{29} } }{2}- \frac{\arcsin\frac{5}{ \sqrt{29} } }{2} + \frac{\pi k}{2},k \in \mathbb{Z} }$