ответ: 84 мин.
Объяснение:
Обозначим длину стадиона символом S. По условию задачи можно считать, что изначально трое бегунов стартовали из одной точки.
2. Заметим, что бегуны, двигающиеся в противоположных направлениях, встречаются в определённый момент времени тогда и только тогда, когда к этому времени они суммарно пробежали расстояние, кратное S.
Действительно, в первый момент встречи после старта бегуны суммарно пробегут два отрезка пути, сумма длин которых составит длину стадиона S. После этого до второй встречи эти два бегуна пробегут ещё два отрезка пути, сумма длин которых составит S, а значит, от момента старта до момента второй встречи они пробегут суммарно 2S. И так далее, на n-ый момент встречи они суммарно пробегут расстояние, равное nS.
3. Условимся называть бегуна, пробегающего полный круг стадиона за время 7 мин первым, пробегающего полный круг стадиона за время 3 мин вторым, и, наконец, пробегающего полный круг за 4 мин третьим. Заметим, что три бегуна встретятся в один и тот же момент тогда и только тогда, когда к этому моменту времени встретились первый и третий бегуны и второй и третий бегуны.
4. Пусть время t — искомое время встречи. Тогда, так как первый и третий бегуны встретились через время t, получаем:
S7⋅t+S4⋅t=nS, где n — натуральное.
Аналогично, так как через время t встретились второй и третий бегуны, получаем:
S3⋅t+S4⋅t=mS, где m — натуральное.
5. Из полученных уравнений находим:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪t=n17+14,t=m13+14.
Исключая переменную t, получим:
nm=17+1413+14=(7+4)⋅3(3+4)⋅7=3349.
Так как числа 33 и 49 взаимно просты, получаем, что n и m имеют вид:
n=33⋅k,
m=49⋅k,
где k — произвольное натуральное число.
6. Таким образом, для момента встречи t мы получаем следующую формулу:
t=n17+14=(7+4)⋅3⋅k17+14=7⋅3⋅4⋅k,
где параметр k соответствует номеру встречи.
7. Выбирая k=1, получаем, что ближайшая встреча произойдёт через t=84 мин.
ответ: х1=1, х2=1, х3=4, х4=1
Объяснение:
1. Введём обозначение:
R1=1x2+1x3+1x4.
Так как x2, x3, x4≥1, то x2+1x3+1x4>1, отсюда 0<R1<1.
Итак, x1+R1=116, где x1 — натуральное число, а 0<R1<1.2. Выделим целую часть: 116=1+56. Следовательно, x1=1, R1=56.
Покажем, что других значений число x1 принимать не может. В самом деле, пусть существует какой-то x≠1 — натуральное и R такое, что 0<R<1 и 1+56=x+R.
Тогда, если x>1, то x≥2 и x−1=56−R.
Но такое равенство невозможно, поскольку левая часть не меньше 1, а правая часть строго меньше 1. Если же x<1, то 1−x=R−56, и снова левая часть по модулю не меньше 1, а правая строго меньше. Итак, получаем единственный возможный вариант x1=1, R1=56.
3. Из формулы для R1 получаем
1x2+1x3+1x4=56;
x2+1x3+1x4=65.
Снова выделяя целую часть, получаем единственный возможный вариант x2=1 и
1x3+1x4=15.
4. Из последнего равенства получаем
x3+1x4=5.
Число x4 не может быть больше 1, так как в противном случае величина x3+1x4 не будет целым числом. Значит, x4=1 и x3=5−1=4
m₁v₁+m₂v₂=m₁v₃+m₂v₃
m₁v₁-m₁v₃=m₂v₃-m₂v₂
m₁(v₁-v₃)=m₂(v₃-v₂)
m₁=m₂(v₃-v₂)/(v₁-v₃)