* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Сколько существует натуральных b , таких , что уравнение
x² - bx + 80080 = 0 имеет два целых корня ?
ответ: 40.
Объяснение:
Допустим x₁ , x₂ ∈ ℤ корни данного уравнения и b ∈ ℕ.
По теореме Виета : { x₁+x₂= b ; x₁*x₂ = 80080 .
x₁*x₂=80080 ⇒ x₁ , x₂ одного знака и оба они натуральные ( иначе нарушается условие x₁+x₂= b∈ ℕ ) .
80080 =10*8008 =2*5*8*1001 =2⁴*5¹*7¹*11¹*13¹→количество натуральных делителей числа 80080:
τ(80080) =(4+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)=5*16=80 , следовательно 80: 2 = 40 пар.
х1 + х2 = -5
х1 * х2 = -14
Методом подбора и проб находим что
х1 = 2 и
х2 = -7
(х-2)(х+7)=0
Чертим ось х и расставляем
точки по возрастанию
Делим на интервалы
Так как х в обеих скобках положительный начиная справа ставим плюс на интервале от 1 до бесконечности
Повторяющихся корней нет поэтому знак чередуется и на интревале от -7 до 2 знак минуса
И соответственно на интревале от минус бесконечности до -7 знак плюс
Выражение меньше или равно нуля поэтому берём интревал чо знаком минус
ответ : х принадлежит интревалу [-7;2]