Question

М-шахматы это игра в которую можно играть только втроем. несколько марсиан решили сыграть несколько партий в м-шахматы так, чтобы каждые трое играли все вместе ровно один раз. один из марсиан заболел и марсианам пришлось играть на 55 игр меньше. сколько всего было марсиан (включая заболевшего)? ответ:

Answer 1

В данном случае нужно воспользоваться формулой сочетания без повторений:
$C^{k}_{n} = \dfrac{n!}{(n - k)! \cdot k! }$
Здесь k = 3. n - неизвестная величина.
Т.к. известно, что при n - 1 было сыграно на 55 меньше игр, то получим следующее уравнение:
$C^{3}_{n} - C^{3}_{n - 1} = 55 \\ \\ \dfrac{n!}{3! \cdot (n - 3)!} - \dfrac{(n - 1)!}{3! \cdot (n - 4)!} = 55\\ \\ \dfrac{n!}{(n - 3)!} - \dfrac{(n - 1)!}{(n - 4)!} = 55 \cdot 3! \\ \\ \dfrac{n!}{(n - 3) \cdot (n - 4)!} - \dfrac{(n - 1)!}{(n - 4)!} = 330 \\ \\ \dfrac{n! - (n - 1)!(n - 3)}{(n - 3)(n - 4)! }= 330 \\ \\ \dfrac{n(n - 1)! - (n - 3)(n - 1)!}{(n - 3)(n - 4)!} = 330 \\ \\ \dfrac{(n -n + 3)(n - 1)!}{(n - 3)!} = 330 \\ \\ \dfrac{3(n - 1)(n - 2)(n - 3)!}{(n - 3)!} = 330 \\ \\$
$(n - 1)(n - 2) = 330:3 \\ \\ (n^2 - 2n - n + 2) - 110 = 0 \\ \\ n^2 - 3n - 108= 0 \\ \\ n^2 - 12n + 9n - 108 = 0 \\ \\ n(n - 12) + 9(n - 12) = 0 \\ \\ (n + 9)(n - 12) = 0 \\ \\ n = -9 - \ \ ne \ \ ud.; \ \ n = 12$
Значит, всего было 12 марсиан. 

ответ: 12 марсиан.