ответ: 4.
Объяснение: Для начала построим график функции y = x² + x - 2
ординаты вершины: 
, 
Координаты точек пересечения с осями координат:
1) с ОХ: у = 0. x² + x - 2 = 0. По теореме Виета х₁ = 1, х₂ = -2. (1; 0), (-2; 0)
2) с ОУ: х = 0. у(0) = 0 + 0 - 2 = -2. (0; -2).
График - во вложении 1.
Из графика y = x² + x - 2 можно получить график функции y = |x² + x - 2|, если ту часть графика, которая ниже оси ОХ, "отзеркалить" относительно оси ОХ. В итоге получим график во вложении 2.
Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид y = a, где а - произвольное число. Будем подбирать разные значения параметра а и посмотрим, какое максимальное кол-во общих точек будут иметь наша функция и прямая y = a. (вложение 3)
Если а < 0 (наглядный пример - а = -0,4), то общих точек не будет вообще.
Если а = 0 (прямая совпадает с осью ОХ), то имеем ровно две точки пересечения.
Если а = 9/4 (отзеркаленная вершина), то иметь будем 3 точки пересечения. А если брать промежуточные значения - 0 < a < 9/4 (наглядный пример - а = 1,5), - то будет 4 точки пересечения, т.е. 4 общих точки.
Если брать значения а > 9/4 (наглядный пример - а = 3), то у нас будет только 2 общих точки.
Итого: наибольшее число общих точек графиков наших функций - 4.
1) 2 корня: D>0;
16-4c>0;
4-c>0;
c<4;
2) 1 корень: D=0;
16-4c=0;
c=4;
3) Нет корней: D<0;
16-4c<0;
4-c<0;
c>4;
4) х^2-2х-3=0
Корни этого уравнения: x1=-1; x2=3;
Подставим их в первое уравнение и найдем с:
а) (-1)^2-4(-1)+с =0;
1+4+c=0;
c=-5;
б) 3^2-4*3+с =0;
9-12+c=0;
c=3.
Так как для разных корней получились разные с, они оба подходят, т.к. общих корней могло быть и два.