Question

Интеграл 1/2t^2dt интеграл x^2(1+2x)dx интеграл ^3√x^2dx интеграл xdx/2√x интеграл x-^3√x^2/√x dx интеграл (1+cosx)dx

Answer 1

$1)\; \; \int \frac{1}{2t^2} dt= \frac{1}{2}\cdot \int t^{-2}dt= \frac{1}{2}\cdot \frac{t^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{2t} +C\\\\2)\; \; \int \; x^2(1+2x)dx=\int \; (x^2+2x^3)dx=\int x^2\, dx+2\, \int x^3\, dx=\\\\=\frac{x^3}{3}+2\cdot \frac{x^4}{4}+C=\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{2}+C\\\\3)\; \; \int \, \sqrt[3]{x^2}dx=\int x^{\frac{2}{3}}dx=\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} +C=\frac{3\sqrt[3]{x^5}}{5}+C$

$4)\; \; \int \frac{x\, dx}{2\sqrt{x}}= \frac{1}{2} \, \int \, \sqrt{x}dx= \frac{1}{2} \, \int x^{\frac{1}{2}}\, dx= \frac{1}{2}\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C= \frac{1}{3}\sqrt{x^3}+C\\\\5)\; \; \int \, \frac{x-\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}} dx=\int \Big ( \frac{x}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}} \Big )dx=\int (x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{6}})dx=\\\\=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{3/2} - \frac{x^{\frac{7}{6}}}{7/6}+C= \frac{2\sqrt{x^3}}{3}-\frac{6\sqrt[6]{x^7}}{7}+C\\\\6)\; \; \int (1+cosx)dx=\int \, dx+\int \, cosx\, dx=x-sinx+C$