1) 15 км/ час.
2) 15 часов.
3) 13.
4) 12.
Объяснение:
1. Решение.
Пусть х км/час - собственная скорость катера
Скорость по течению равна х+3 км/час
Время на движение по течению затрачено
t1=S1/v1 = 5/(x+3) часов.
Время на движение по озеру затрачено
t2=S2/v2 = 8/х часов.
Общее время t1+t2=1 час.
Составим уравнение:
5/(x+3) + 8/x = 1;
5x + 8(x+3)=x(x+3);
5x+8x+24 = x²+3x;
x² - 10x -24 = 0;
По теореме Виета
х1 = 12; х2 = -2 - не соответствует условию
х=12 км/час - собственная скорость катера.
х+3=12+3=15 км/час - скорость катера по течению.
***
2) Решение.
Производительность двух труб равна 1/10 часть /час.
Пусть первая труба наполняет бассейн за х часов. Тогда ее производительность равна 1/х часть/час
Вторая труба наполняет на 15 часов дольше: х+15 часов и
ее производительность равна 1/(х+15) часть/час.
Составим уравнение:
1/х + 1/(х+15)=1/10;
10(х+15) + 10х = х(х+15);
10х + 150 +10х = х²+15х;
х²+15х -10х -10х -150=0;
х²-5х -150=0;
х1=15; х2=-10 - не соответствует условию.
х=15 часов - время заполнения первой трубой.
***
3) Решение.
Обозначим гипотенузу через х. Тогда один из катетов равен х-1, а второй х-8.
По теореме Пифагора
х² = (х-1)² + (х-8)²;
х²=х²-2х+1 + х²-16х+64;
х²-18х+65=0;
x1=13; x2=5;
Если гипотенуза равна 13, то катеты равны 13-1=12 и 13-8=5.
Если гипотенуза равна 5, то катеты равны 5-1 = 4 и 5-8=-3 - не соответствует условию.
Следовательно гипотенуза равна 13.
***
Решение.
Пусть меньшая сторона равна х. Тогда большая равна х+3.
По теореме Пифагора
x²+(x+3)² = 15²;
x²+x²+6x+9=225;
2x² +6x - 216=0;
x²+3x - 108=0;
x1=9; x2= - 12 - не соответствует условию.
х=9 меньшая сторона.
х+3=9+3=12 = большая сторона прямоугольника
ответ: 3 решения будет , когда a∈{49} ∪ {4*(10-√51)}
Объяснение:
Рассмотрим уравнение 1 :
(|y-10|+|x+3|-2)*(x^2+y^2-6)=0
Уравнение представляет собой совокупность квадрата с центром в точке: B(-3;10) с половиной диагонали равной 2 и окружность с центром в начале координат и радиусом √6.
Рассмотрим уравнение 2
(x+3)^2+(y-5)^2=a -окружность с центром в точке : A (-3 ;5) и радиусом равным √a (находится на одной вертикали с квадратом из уравнения 1)
На рисунке показаны случаи касания окружности из уравнения к окружности и к квадрату из уравнения 1.
3 решения будет либо когда окружность из уравнения 2 касается квадрата (в 1 точке ) и пересекает окружность уравнения 1 ( в двух точках соответственно) , либо когда касается окружности уравнения и пересекает квадрат ( в двух точках соответственно).
Все обозначения смотрите на рисунке.
Найдем расстояния между центрами:
AB=10-5=5
AO=√(5^2+3^2)=√34
a1=5-2=3 → a=3^2=9
a2=5+2=7 → a=7^2=49
a3=√34-√6=√2* (√17-√3) → a= (√2* (√17-√3) )^2=40-4√51=4*(10-√51)
a4=√34+√6=√2*(√17+√3) → a= (√2*(√17+√3) )^2=4*(10+√51)
Cравним: a1 и a3
3 и √2* (√17-√3)
9 и 40-4*√51
4√51 и 31
816 < 961
Так же очевидно ,что :
a4=√34+√6 >√25+√4 =7=a2
a3=√34-√6<√49=7=a2
a4>a2>a3>a1
Тогда из рисунка видно, что 3 решения получается когда :
a=a3^2=4*(10-√51)
a= a2^2=49
a∈{49} ∪ {4*(10-√51)}
Теперь рассмотрим отдельно то , когда a=0
В этом случае уравнение 2 имеет вид :
(x+3)^2 +(y-5)^2=0
Поскольку квадрат число неотрицательное , то
x=-3 ; y=5
Но эта точка не принадлежит области первого уравнения.
ответ : 3 решения будет , когда a∈{49} ∪ {4*(10-√51)}
