Question

Решить уравнение. sin x(2sin^2x-1)+cos^2 2x=0 и найти корни, которые принадлежат отрезку [-1,6; 0,8]

Answer 1

Cos2x=1-2sin²x
cos²2x=(1-2sin²x)²=(2sin²x-1)²
Значит уравнение имеет вид
sinx·(2sin²x-1)+(2sin²x-1)²=0
(2sin²x-1)(sinx+2sin²x-1)=0
Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0 ( а другой при этом не теряет смысла, но в данном задании оба множителя определены при любых х и потому никаких проблем).

1)
2sin²x-1=0    ⇒  sinx=-√2/2    или    sinx=√2/2
х=(π/4)+(π/2)k, k∈ Z ( cм рис.1)

2)2sin²x+sinx-1=0
D=1-4·2·(-1)=9
sinx=-1    или    sinx=1/2
x=(-π/2)+2πm, m∈z   или  х=(π/6)+2πn, n∈Z   или   х=(5π/6)+2πr, r∈Z
(cм. рис.2)

О т в е т. (π/4)+(π/2)k;(-π/2)+2πm;(π/6)+2πn;(5π/6)+2πr,     k,m,n, r∈Z

б)  Указанному отрезку принадлежат корни ( cм. рис.3)
-π/2≈-1,57
-π/4≈-0,785
π/6≈0,522
π/4≈0,785