Question

Вычислить криволинейный интерграл от точки а до точки в по заданному пути интергированию и установисть независимость от пути интергрирования ∫(x-y)dx - (x-2y)dy ; ав-дуга параболы у=1/2 *x^2 ; а(0; 0) и b(4; 8);

Answer 1

Из уравнения y=x²/2 находим dy=x*dx. Тогда ∫(x-y)*dx-(x-2*y)*dy=∫((x-x²/2)-(x-x²))*dx=∫x²/2*dx с пределами интегрирования x1=0, x2=4. Первообразная F(x)=x³/6+C. Подставляя пределы интегрирования, находим F(4)-F(0)=4³/6-0³/6=64/6=32/3. Запишем теперь исходный интеграл в виде ∫P(x,y)*dx+Q(x,y)*dx, где P(x,y)=x-y, Q(x,y)=2*y-x. Так как dP/dy=-1=dQ/dx, то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции u(x,y). А в этом случае величина интеграла зависит только от начальной и конечной точек пути и не зависит от его формы.