а) |x-6| = |x^2 - 5x + 9|
Квадратный трехчлен справа под модулем всегда положителен, так как имеет отрицательный дискриминант (D = 25-36<0). Значит знак модуля от него можно просто отбросить. Рассмотрим теперь два случая:
1. x>=6
Тогда имеем уравнение: х-6 = x^2 - 5x + 9
x^2 -6x + 15 =0
D<0, корней нет.
2. x<6
6-x = x^2 - 5x + 9
x^2 - 4x + 3 = 0
По теореме Виета имеем два корня: 1 и 3. Оба удовлетворяют условию x<6
ответ: 1; 3.
б) не понял, что тут можно решить!?
Одно уравнение, а неизвестных - два...
1. cos3x=sin5x
Или с применением формулы приведения:
sin5x - sin(pi/2 -3x) = 0
Из формулы разности синусов:
2sin[(5x-pi/2 + 3x)/2]*cos[(5x+pi/2 - 3x)/2] = 0
Разбиваем на два уравнения:
sin(4x- pi/4) = 0 cos(x+ pi/4) = 0
4x- pi/4 = pi*k x+ pi/4 = pi/2 + pi*n
x = pi/16 + pi*k/4 x = pi/4 + pi*n
ответ: pi/16 + pi*k/4 ; pi/4 + pi*n; k,n принадл. Z
2. sin2x + 16cos²x = 4
Пользуясь формулой синуса двойного угла и основным тождеством приведем данное уравнение к однородному второй степени:
2sinx*cosx + 16cos²x - 4(sin²x+cos²x)=0
2sin²x - sinx*cosx - 6cos²x = 0
Делим на cos²x:
2tg²x - tgx - 6 = 0, tgx = t
2t² - t - 6 = 0
D = 1 + 48 = 49 = 7²
t₁ = (1+7)/4 = 2
t₂ = (1-7)/4 = - 1,5
tgx = 2 tgx = -1,5
x = arctg2 + πk x = -arctg1,5 + πn
Подбираем корни из заданного промежутка:
arctg2; π - arctg1,5; π + arctg2
