Question

Найти f'(x), f'(1), если f(x)=2^x*log2 x

Answer 1

$f(x)=2^x*log_2 x \\ \\ f'(x)=(2^x)'*log_2 x+2^x*(log_2x)'=ln2* 2^x *log_2x+2^x * \frac{1}{x*ln2} = \\ \\ =ln2* 2^x * \frac{lnx}{ln_2} +2^x * \frac{1}{x*ln2}=2^x * lnx +2^x * \frac{1}{x*ln2}=2^x *(lnx+\frac{1}{x*ln2}) \\ \\ f'(1)=2^1 *(ln1+\frac{1}{1*ln2}) = \frac{2}{ln2}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции f(x) = 2^x * log2(x), мы будем использовать правила дифференцирования для функций, содержащих сложные операции, такие как экспонента и логарифм.

Шаг 1: Разложение функции
Давайте разобьем функцию f(x) на две части, чтобы было проще вычислять её производную.

f(x) = 2^x * log2(x)

Перепишем её в виде:

f(x) = 2^x * ln(x) / ln(2).

Шаг 2: Применение правил дифференцирования
Теперь мы можем применить правила дифференцирования для каждого слагаемого отдельно.

Для первого слагаемого, 2^x, мы будем использовать правило для экспоненты:

(d/dx)(a^x) = ln(a) * a^x.

Применяя это правило, получим:

(d/dx)(2^x) = ln(2) * 2^x.

Для второго слагаемого, log2(x), мы будем использовать правило для логарифма:

(d/dx)(log2(x)) = 1 / (x * ln(2)).

Шаг 3: Подставляем результаты в исходную функцию
Теперь мы можем подставить результаты, полученные в шаге 2, обратно в исходную функцию f(x) = 2^x * log2(x).

f'(x) = (ln(2) * 2^x) * (ln(x) / ln(2)) + (2^x * 1 / (x * ln(2))).

Упрощая это выражение, получаем:

f'(x) = 2^x * (ln(2) * ln(x) + 1) / (x * ln(2)).

Шаг 4: Нахождение значения f'(1)
Чтобы найти значение производной f'(1), мы должны подставить x = 1 в полученное выражение f'(x):

f'(1) = 2^1 * (ln(2) * ln(1) + 1) / (1 * ln(2)).

Заметим, что ln(1) = 0, поэтому это будет делиться на ноль. Поэтому значение f'(1) будет неопределенным.

Итак, f'(x) = 2^x * (ln(2) * ln(x) + 1) / (x * ln(2)), а f'(1) - неопределенно.