Question

Докажите, что уравнение не имеет отрицательных корней.

Answer 1

$3x^{10} + x^2 = 4x^7 + 2x^3 - 3$
Правая часть всегда принимает неотрицательные значения. 
Поэтому левая часть тоже должна принимать неотрицательные значения.
При x < 0 выражение $4x^{7} + 2x^{3} - 3 \ \textless \ 0$.
Функция $y = 4x^{7} + 2x^{3} - 3$ представлена суммой двух монотонно возрастающих функция, поэтому и сама является монотонно возрастающей.
При x = 0 y(0) = -3, поэтому при других x < 0 функция значения функции будут уменьшаться (быть отрицательными), т.к. если функция возрастает, то наименьшему значению x соответствует наименьшее значение y. 
Отсюда делаем вывод, что если x < 0, то левая часть не равна правой ⇒ уравнение не имеет отрицательных корней.

Answer 2

Ну, можно чуть более простым языком
преобразуем и получаем 

$3x^{10}+ x^{2} =4 x^{7}+2 x^{3} -3$
левая часть при любом х всегда больше или равно 0, значит и правая тоже должна быть больше или равно 0
$4 x^{7}+2 x^{3} -3$≥0
$4 x^{7}+2 x^{3}$≥3

при любом отрицательном х левая часть тоже отрицательна, что быть не может.  Значит, х  может принимать только неотрицательные значения.