Дана функция y=x³-3x²+4. 1. Область определения функции: х ∈ (-∞, ∞). 2. Четность, нечетность функции проверяем с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). x^{3} - 3 x^{2} + 4 = - x^{3} - 3 x^{2} + 4. - Нет. x^{3} - 3 x^{2} + 4 = - -1 x^{3} - - 3 x^{2} - 4. - Нет. Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной. 3. Координаты точек пересечения графиков функции с осью Ох и осью Оy. График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение x³ - 3 x² + 4 = 0. Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X: Аналитическое решение даёт 3 действительных корня (из них 2 одинаковых): х = 2 и х = -1. График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x³ - 3x² + 4. 0³ - 3*0² + 4. Результат: f(0) = 4. Точка (0, 4). 4. Промежутки возрастания убывания функции, экстремумы функции. Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение \frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: \frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = Первая производная 3 x^{2} - 6 x = 0. Корни этого уравнения x_{1} = 0. x_{2} = 2. Значит, экстремумы в точках: (0, 4) (2, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках x_{2} = 2. Максимумы функции в точках x_{2} = 0. Убывает на промежутках (-oo, 0] U [2, oo) Возрастает на промежутках [0, 2] 5. Промежутки выпуклости функции Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = Вторая производная 6 \left(x - 1\right) = 0. Корни этого уравнения x_{1} = 1. Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках [1, oo). Выпуклая на промежутках (-oo, 1]. 6. асимптоты графика - не имеет. 7. Построение графика - дан в приложении.
Вектор x, коллинеарный вектору a=(4,-7,1), образует острый угол с осью
(допустим) oy.
Найти координаты вектора x , если |x| = t = √264 .
Вектор x, коллинеарный вектору a=(4,-7,1) , значит
x = k*a * * * ka ={4k ; -7k ; k}
|x | = |k|*|a| = |k|*√(4² +(-7)² +1²) =|k|* √66
|k|* √66 =√264 ; * * * √264 = √(4*66) =√(2²*66)=2√66 * * *
k|* √66 =2√66 ;
|k| =2 ⇒ k = ± 2 .
Т.к. вектор x с осью oy образует острый угол ,то
-7k >0 ⇒ k < 0 , поэтому k = - 2.
ответ: - 2.