ответ:Данный урок мы посвятим решению типовых задач на построение графика функции . Вспомним определение квадратного корня.
Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число , квадрат которого равен .
.
Изобразим график – это правая ветвь параболы (рис. 1).
Рис. 1.
На графике наглядно виден смысл вычисления квадратного корня. Например, если рассмотреть ординату 16, то ей будет соответствовать абсцисса 4, т. к. . Аналогично, ординате 9 на графике соответствует точка с абсциссой 3, поскольку , ординате 11 соответствует абсцисса , т. к. (квадратный корень из 11 не извлекается в целых числах).
Теперь вспомним график функции (рис. 2).
Рис. 2.
На графике для наглядности изображены несколько точек, ординаты которых вычисляются с извлечения квадратного корня: , , .
Примеры на преобразование графиков с корнями
Пример 1. Постройте и прочтите график функции: а) , б) .
Решение. а) Построение начинается с простейшего вида функции, т. е. в данном случае с графика (пунктиром). Затем для построения искомого графика график функции необходимо сдвинуть влево на 1 (рис. 3). При этом все точки графика сдвинутся на 1 влево, например, точка с координатами (1;1) перейдет в точку с координатами (0;1). В результате получаем искомый график (красная кривая). Проверить такой легко при подстановке нескольких значений аргумента.
Рис. 3.
Прочтем график: если аргумент меняется от до , функция возрастает от 0 до . Область определения (ОДЗ) при этом требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, т. е. .
б) Для построения графика функции поступим аналогичным образом. Сначала строим график (пунктиром). Затем для построения искомого графика график функции необходимо сдвинуть вправо на 1 (рис. 4). При этом все точки графика сдвинутся на 1 вправо, например, точка с координатами (1;1) прейдет в точку с координатами (2;1). В результате получаем искомый график (красная кривая).
Рис. 4.
Прочтем график: если аргумент меняется от до , функция возрастает от 0 до . Область определения (ОДЗ) аналогична предыдущему случаю: .
Замечание. На указанных примерах несложно сформулировать правило построения функций вида:
.
Пример 2. Постройте и прочтите график функции: а) , б) .
Решение. а) Этот пример также демонстрирует преобразование графиков функций, но только уже другого типа. Начинаем построение с простейшей функции (пунктиром). Затем график построенной функции смещаем на 2 вверх и получаем на рисунке 5 искомый график (красная кривая). Точка с координатами (1;1) при этом, например, переходит в точку (1;3).
Рис. 5.
Прочтем график: если аргумент меняется от 0 до , функция возрастает от 2 до . Область определения (ОДЗ): .
б) Также начинаем построение с простейшей функции (пунктиром). Затем график построенной функции (рис. 6) смещаем на 1 вниз и получаем искомый график (красная кривая). Точка с координатами (1;1) при этом, например, переходит в точку (1;0).
Алгоритмы и примеры решения системы уравнений:
Алгоритм решения системы линейных уравнений подстановки:
1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из него одну переменную через другую, например, Х через У. (можно и У через Х) . 2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной. 3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение. 4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте, получаем вторую неизвестную из решения. 5. Выполнить проверку полученного решения.
Пример
Решить систему уравнений: {Х+2*У =12{2*Х-3*У=-18
Решение: 1. Из первого уравнения данной системы выражаем переменную Х. Имеем Х= (12 -2*У) ; 2. Подставляем это выражение во второе уравнение, получаем 2*Х-3*У=-18; 2*(12 -2*У) – 3*У = -18; 24 – 4*У– 3*У = -18;
3. Решаем полученное линейное равнение: 24 – 4У – 3*У =-18; 24-7*У =-18; -7*У = -42; У=6;
4. Подставляем полученный результат в выражение, полученное в первом пункте. Х= (12 -2*У) ; Х=12-2*6 = 0; Х=0;
5. Проверяем полученное решение, для этого подставляем найденные числа в исходную систему. {Х+2*У=12;{2*Х-3*У=-18;{0+2*6 =12;{2*0-3*6=-18;{12 =12;{-18=-18;
Получили верные равенства, следовательно, мы правильно нашли решение.
ответ: (0,6)
Алгоритм решения алгебраического сложения
Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными сложения.
1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях. 2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным 3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных. 4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную. 5. Сделать проверку решения.
Пример решения алгебраического сложения
Для большей наглядности решим сложения следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:
{3*Х + 2*У = 10;{5*Х + 3*У = 12;
Так как, одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной у.
Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.
{3*Х+2*У=10 |*3{5*Х + 3*У = 12 |*2
Получим следующую систему уравнений: {9*Х+6*У = 30;{10*Х+6*У=24;
Теперь из второго уравнения вычитаем первое.
Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение. 10*Х+6*У – (9*Х+6*У) = 24-30; Х=-6;
Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение. {3*(-6) + 2*У =10;{2*У=28; У =14;
Получилась пара чисел Х=6 и У=14.
Проводим проверку.
Делаем подстановку. {3*Х + 2*У = 10;{5*Х + 3*У = 12;{3*(-6) + 2*(14) = 10;{5*(-6) + 3*(14) = 12;{10 = 10;{12=12;
Как видите, получились два верных равенства, следовательно, мы нашли верное решение. ответ: (6, 14)
= 4 - 2 = 2