Question

Дан квадрат со стороной 4 см. середины его сторон являются вершинами второго квадрата. середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. доказать, что последовательность площадей этих квадратов
является прогрессией. найти площадь седьмого квадрата.

Answer 1

См. рисунок

BL=BK=0,5BC=2см

По теореме Пифагора найдем сторону вписанного квадрата KL

KL²=2BL² ⇒ KL=BL*√2=2√2 см.

Найдем во сколько раз сторона большого заданного квадрата, больше стороны вписанного

$\frac{BC}{KL}= \frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Соответственно площадь вписанного квадрата будет в 2 раза меньше площади большого заданного квадрата .

Если вписать в квадрат KLMN через середины его сторон квадрат, то площадь этого вписанного квадрата будет так же в 2 раза меньше чем площадь квадрата KLMN. И так далее.... Получается геометрическая прогрессия со знаменателем 0,5.

Площадь заданного большого квадрата S=a²=4²=16 см²

$b_{n}= b_{1}*q^{n-1}$

$b_{7}= 16*\frac{1}{2}^{(7-1)}= 0,25$ см²