Question

Найти количество таких натуральных n⩽50, что число (n−1)! не делится на n^2. здесь n! — произведение натуральных чисел от 1 до n.

Answer 1

Число 1 исключаем. - Рассмотрим это: (n-1)!/n²=n!/n³. Разложим в произведение-ряд. Посмотрим на простое число p: p!/p³=1*2*3*...p/p³. Т.к. в ряду 1*2*3*...*p нет еще 2 p, то при его делении на p³ получим дробное число. Простые числа: до 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 - 15 штук - их включаем. - Рассмотрим составные числа pq, где p>q>2. В разложении (pq)! число p встретится больше или равно 3 раз, т.к. q>3, а q встретится более или равно p>>3 раз, значит (pq)! делится на (pq)^3. Это числа: 15, 21, 33, 39; 35 -их исключаем. - Рассмотрим составные числа p², где p - простое, в разложении (p^2)! p должно встречаться не менее 6 раз. Для чисел p>5 - 49, 25 это выполняется - их исключаем. Числа 4, 9 - включаем. - Рассмотрим числа np, p - простое, n - больше 1 и не простое (кроме 2). Если n=2, то p мы не встретим в разложении (np)! более 2 раз - числа: 6, 10, 14, 22, 26, 34, 38, 46 - включаем. Если же n не равно 2, то в разложении (np)! встретим p более n>3 раз - их исключаем: 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50. Степени простых чисел, большие второй, рассматриваем отдельно: включаем 8, исключаем: 16, 27, 32. Включенных - искомых чисел - 26.

Answer 2

Если n можно представить в k*m, где k,m∈N; k≠1; m≠1; k≠n; m≠n
то в (n−1)! найдутся k и m 
 
вполне логично, что при n-простое не выполняется, т.к.  в
n не будет делиться ни на один множитель из (n-1)!
следовательно
n=2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43(14чисел) 
число (n−1)! не делится на n^2
теперь рассмотрим простые число умноженное на 2
то есть
n=4,6,10,14,22,26,34,38,46 и все остальные будут больше 50
рассмотрим представим n как 2*p, где p-простое число 
n²=4p²
в (2p−1)! найдется одно p, но вот второе p будет только уже при 2p чего в произведении нет
значит при
n=4,6,10,14,22,26,34,38,46(9чисел)
число (n−1)! не делится на n^2
а если рассматривать простые числа *3 то в (n−1)! найдутся 2 простых числа там где p*1 и p*2
получается всего 23 чисел
ответ:23