Question

||x+1|-|x-3||=|x| с подробным объяснением,

Answer 1

Разбиваем на совокупность уравнений
$|x+1|-|x-3|=x \\ |x+1|-|x-3|=-x$

Решаем каждое из них:
1)
Нули подмодульных выражений:
$x+1=0 \\ x=-1 \\ \\ x-3=0 \\ x=3$

Значит решения рассматриваем на интервалах:
$x \in (-\infty ;-1) \\ \\ -x-1+x-3=x \\ x=-4 \\ \\ x \in [-1;3) \\ \\ x+1+x-3=x \\ x=2 \\ \\ x \in [3; +\infty ) \\ \\ x+1-x+3=x \\ x=4$

2)
Аналогично, нули -1 и 3.

$x \in (-\infty; -1) \\ \\ -x-1+x-3=-x \\ x=4 \notin ODZ \\ \\ x \in [-1; 3) \\ \\ x+1+x-3=-x \\ x= \dfrac{2}{3} \\ \\ x \in [ 3; +\infty ) \\ \\ x+1-x+3=-x \\ x=-4 \notin ODZ$

ответ: $-4; \dfrac{2}{3}; 2; 4$

Answer 2

Избавляемся от внешнего модуля:
возведем обе части в квадрат:
$(x+1)^2-2|x+1|*|x-3|+(x-3)^2=x^2 \\x^2+2x+1-2|x+1|*|x-3|+x^2-6x+9-x^2=0 \\x^2-4x+10-2|x+1|*|x-3|=0$
теперь раскрываем внутренние модули:
$1) \left \{ {{x+1 \geq 0} \atop {x-3 \geq 0}} \right. \\ \left \{ {{x \geq -1} \atop {x \geq 3}} \right. \\x \in [3;+\infty) \\x^2-4x+10-2(x+1)(x-3)=0 \\x^2-4x+10-2x^2+4x+6=0 \\-x^2+16=0 \\x^2=16 \\x_1=4 \in [3;+\infty) \\x_2=-4 \notin [3;+\infty) \\2) \left \{ {{x+1 \leq 0} \atop {x-3 \geq 0}} \right. \\ \left \{ {{x \leq -1} \atop {x \geq 3}} \right.$
$x \in\emptyset \\3) \left \{ {{x+1 \geq 0} \atop {x-3 \leq 0}} \right. \\ \left \{ {{x \geq -1} \atop {x \leq 3}} \right. \\ x \in [-1;3] \\x^2-4x+10+2(x+1)(x-3)=0 \\x^2-4x+10+2x^2-4x-6=0 \\3x^2-8x^2+4=0 \\D=64-48=16=4^2 \\x_1= \frac{8-4}{6} = \frac{2}{3} \in [-1;3] \\x_2= \frac{8+4}{6} =2\in [-1;3] \\4)\left \{ {{x+1 \leq 0} \atop {x-3 \leq 0}} \right. \\ \left \{ {{x \leq -1} \atop {x \leq 3}} \right. \\x \in (-\infty;-1] \\x^2-4x+10-2(x+1)(x-3)=0 \\x^2-4x+10-2x^2+4x+6=0 \\-x^2+16=0 \\x^2=16$
$x_1=4 \notin (-\infty;-1] \\x_2=-4 \in (-\infty;-1]$
ответ: $\pm4;\ \frac{2}{3} ;\ 2$